Para cada uma das transformações T a seguir, calcule N(T) e \operatorname{Im}(T)
T: R^{2} \rightarrow R^{2}; Reflexão em torno da reta y=x

Passo 1

O enunciado pede para calcular N(T) e \operatorname{Im}(T) para a transformação linear
T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,
que é a reflexão em torno da reta y=x. Informação relevante dada pelo enunciado:
  • O domínio e contradomínio são \mathbb{R}^2.
  • A transformação é a reflexão em torno da reta y=x. (Isto significa que cada ponto (x,y) é levado para o seu reflexo em relação à reta y=x.)

Passo 2

Vamos identificar a ação de T nos vetores da base padrão para poder trabalhar algebricamente. Tome a base padrão
\mathbf{e}_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad \mathbf{e}_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Geometricamente, ao refletir em torno da reta y=x o ponto (1,0) (que é \mathbf{e}_1) vai para (0,1) (que é \mathbf{e}_2), e (0,1) (que é \mathbf{e}_2) vai para (1,0) (que é \mathbf{e}_1). Portanto
T(\mathbf{e}_1)=\mathbf{e}_2,\qquad T(\mathbf{e}_2)=\mathbf{e}_1.]

Passo 3

A partir da ação em \mathbf{e}_1 e \mathbf{e}_2 podemos escrever a matriz de T na base padrão: as colunas da matriz são T(\mathbf{e}_1) e T(\mathbf{e}_2). Assim
A=[T]_{\text{padrão}}= \begin{pmatrix} 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix}.ã
Interpretação: A troca as coordenadas de um vetor; isto é, para v=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} temos
T(v)=A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y\\[4pt]x\end{pmatrix}.]

Passo 4

Definição e cálculo do núcleo N(T)\). Por definição, \[N(T)=\{v\in\mathbb{R}^2\mid T(v)=0\}.
Para encontrar N(T) resolvemos o sistema linear
A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix},
ou seja,
\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Escrevendo as equações coordenada a coordenada obtemos
\begin{cases} y=0,\\[4pt] x=0. \end{cases}
A única solução é x=0\] e \(y=0. Conclusão:
N(T)=\left\{\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}\right\}.
Comentário intuitivo: a reflexão não anula vetores não nulos — ela apenas os reflete — então não existe vetor não nulo que vá para o vetor zero.]

Passo 5

Definição e cálculo da imagem \operatorname{Im}(T). Por definição,
\operatorname{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in\mathbb{R}^2\},
e linearmente é o espaço gerado pelas colunas da matriz A. As colunas de A são
\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},
que são exatamente \mathbf{e}_2 e \mathbf{e}_1. O espaço gerado por \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\} é todo \mathbb{R}^2. Portanto
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2.
Comentário: isso também segue do fato de que A tem posto 2 (as colunas são linearmente independentes), então a transformação é sobrejetora.]

Passo 6

Observação final útil para a prova: método rápido para transformações geométricas em \mathbb{R}^2:
  • Ache a imagem dos vetores da base padrão para montar a matriz.
  • Calcule o núcleo resolvendo A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=0.
  • Calcule a imagem como o espaço gerado pelas colunas de A.
Neste caso a reflexão em y=x tem matriz A=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}, núcleo trivial e imagem toda \mathbb{R}^2. Força aí — é rápido de fazer na prova!]

Resposta

N(T)=\left\{\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}\right\}
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2]

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