Para cada uma das transformações
a seguir, calcule
e
; Reflexão em torno da reta
Passo 1
O enunciado pede para calcular
e
para a transformação linear
que é a reflexão em torno da reta
. Informação relevante dada pelo enunciado:
- O domínio e contradomínio são
. - A transformação é a reflexão em torno da reta
. (Isto significa que cada ponto é levado para o seu reflexo em relação à reta .)
Passo 2
Vamos identificar a ação de
nos vetores da base padrão para poder trabalhar algebricamente. Tome a base padrão
Geometricamente, ao refletir em torno da reta
o ponto
(que é
) vai para
(que é
), e
(que é
) vai para
(que é
). Portanto
Passo 3
A partir da ação em
e
podemos escrever a matriz de
na base padrão: as colunas da matriz são
e
. Assim
Interpretação:
troca as coordenadas de um vetor; isto é, para
temos
Passo 4
Definição e cálculo do núcleo
Para encontrar
resolvemos o sistema linear
ou seja,
Escrevendo as equações coordenada a coordenada obtemos
A única solução é
. Conclusão:
Comentário intuitivo: a reflexão não anula vetores não nulos — ela apenas os reflete — então não existe vetor não nulo que vá para o vetor zero.]
Passo 5
Definição e cálculo da imagem
. Por definição,
e linearmente é o espaço gerado pelas colunas da matriz
. As colunas de
são
que são exatamente
e
. O espaço gerado por
é todo
. Portanto
Comentário: isso também segue do fato de que
tem posto
(as colunas são linearmente independentes), então a transformação é sobrejetora.]
Passo 6
Observação final útil para a prova: método rápido para transformações geométricas em
:
- Ache a imagem dos vetores da base padrão para montar a matriz.
- Calcule o núcleo resolvendo
. - Calcule a imagem como o espaço gerado pelas colunas de
.
Neste caso a reflexão em
tem matriz
, núcleo trivial e imagem toda
. Força aí — é rápido de fazer na prova!]