Considere as transformações a seguir dadas através das suas matrizes canônicas A. Encontre para cada uma delas: i) a dimensão do núcleo e da imagem e base para esses subespaços; ii) se a transformação é injetora e sobrejetora; iii) se a transformação possui inversa; iv) a inversa da transformação caso ela seja inversível
f) A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear representada pela matriz canônica
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 3\end{pmatrix},
que é uma matriz 2\times3. As perguntas são:
i) determinar a dimensão do núcleo ( \ker A) e da imagem ( \operatorname{Im}A) e encontrar bases para esses subespaços;
ii) dizer se a transformação é injetora e/ou sobrejetora;
iii) dizer se a transformação possui inversa;
iv) dar a inversa caso exista.
Informações relevantes dadas: as três colunas de A são
c_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix},\quad c_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix},\quad c_3=\begin{pmatrix}1\\[2pt]3\end{pmatrix},
e o domínio natural dessa transformação é \mathbb{R}^3 (vetores coluna x\in\mathbb{R}^3) e a imagem vive em \mathbb{R}^2.]

Passo 2

O que é \ker A e o que é \operatorname{Im}A?
  • \ker A=\{x\in\mathbb{R}^3\mid Ax=0\}. É o conjunto dos vetores do domínio que vão para o vetor zero. Uma base do núcleo é um vetor (ou vetores) que geram todos os vetores do núcleo por combinações lineares.
  • \operatorname{Im}A=\operatorname{span}\{c_1,c_2,c_3\}\subseteq\mathbb{R}^2. É o espaço gerado pelas colunas da matriz. A dimensão da imagem é o posto (rank) da matriz.
    Usaremos também o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity): para uma transformação linear A:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,
\dim\ker A + \dim\operatorname{Im}A = 3.

Passo 3

Vamos achar a dimensão da imagem (o posto). Observe c_1 e c_2. Eles são múltiplos um do outro? Não: c_1=(1,1)^T não é múltiplo escalar de c_2=(1,2)^T. Portanto c_1 e c_2 são linearmente independentes em \mathbb{R}^2. Logo \operatorname{rank}(A)\ge 2. Mas como a imagem está em \mathbb{R}^2, o posto máximo possível é 2. Portanto
\operatorname{rank}(A)=2,
e consequentemente
\dim\operatorname{Im}A=2.

Passo 4

Mostro que c_3\) está no espaço gerado por \(c_1\) e \(c_2\). Procuro \(\alpha,\beta\) tais que \[\alpha c_1+\beta c_2 = c_3.
Isso dá o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta = 1,\\[4pt] \alpha+2\beta = 3. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda obtém-se \beta=2\] e então \(\alpha=-1. Portanto
c_3 = -1\cdot c_1 + 2\cdot c_2,
mostrando que c_3 não adiciona dimensão à imagem. Assim um conjunto gerador mínimo (base) para \operatorname{Im}A é \{c_1,c_2\}. Concluímos:
\operatorname{Im}A=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix}\right\}.
Como \dim\operatorname{Im}A=2=\dim\mathbb{R}^2, segue que \operatorname{Im}A=\mathbb{R}^2 (ou seja, A é sobrejetora).]

Passo 5

Usando rank–nullity:
\dim\ker A = 3 - \dim\operatorname{Im}A = 3 - 2 = 1.
Portanto o núcleo tem dimensão 1: ele é uma reta através da origem em \mathbb{R}^3. Vamos encontrar uma base explícita do núcleo resolvendo Ax=0.

Passo 6

Escrevo x=(x_1,x_2,x_3)^T\) e imponho \(Ax=0\). O sistema é \[\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 0,\\[4pt] x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda obtenho
(x_1+2x_2+3x_3) - (x_1+x_2+x_3) = 0 \Rightarrow x_2 + 2x_3 = 0.
Logo x_2 = -2x_3\]. Substituo em \(x_1 + x_2 + x_3 = 0:
x_1 + (-2x_3) + x_3 = 0 \Rightarrow x_1 - x_3 = 0 \Rightarrow x_1 = x_3.
Tomando parâmetro livre t=x_3, obtemos
x = \begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\\[2pt]x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}t\\[2pt]-2t\\[2pt]t\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Portanto uma base de \ker A é
\left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\\[2pt]1\end{pmatrix}\right\}.]

Passo 7

Agora respondo (ii) sobre injetividade e sobrejetividade usando definições:
  • Injetora: uma transformação é injetora se e somente se \ker A=\{0\}. Aqui \dim\ker A=1 e existe vetor não nulo em \ker A, então A não é injetora.
  • Sobrejetora: uma transformação é sobrejetora se \operatorname{Im}A é todo o contradomínio. Como \operatorname{Im}A=\mathbb{R}^2, A é sobrejetora.

Passo 8

(iii) e (iv) sobre a inversa: para uma transformação linear A:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 existir uma inversa linear bidirecional (uma transformação A^{-1}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 tal que A^{-1}A=I_{\mathbb{R}^3} e AA^{-1}=I_{\mathbb{R}^2}) é necessário que A seja bijetora e, em particular, que o domínio e o contradomínio tenham a mesma dimensão. Aqui domínio e contradomínio têm dimensões diferentes ( 3 e 2), portanto não existe inversa linear que seja bijetora. Conclusão: A não possui inversa no sentido usual. (Observação útil: por ser sobrejetora existe pelo menos uma antissimetria à direita B:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 com A B = I_{\mathbb{R}^2} — isto é, há inversa à direita — mas não há inversa à esquerda e nem inversa bijetora; como a questão pede a inversa só quando existir, não há inversa a fornecer.)

Resposta

i) \dim\ker A=1, base de \ker A=\left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\\[2pt]1\end{pmatrix}\right\}; \dim\operatorname{Im}A=2, base de \operatorname{Im}A=\left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix}\right\}.
ii) Injetora: não. Sobrejetora: sim.
iii) Possui inversa (bijetora)?: não.
iv) Inversa: não existe.]

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