Para cada uma das transformações T a seguir, calcule N(T) e \operatorname{Im}(T)
\mathrm{T}: \mathrm{R}^{2} \rightarrow \mathrm{R}^{2} ; Cisalhamento na direção de OY de fator 3(\mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}+3 \mathrm{x}))

Passo 1

O enunciado pede que, para a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por T(x,y)=(x,y+3x), calculemos duas coisas: o núcleo N(T) e a imagem \operatorname{Im}(T).
Informações dadas:
  • A regra da transformação é T(x,y)=(x,y+3x).
  • Não há figura ou tabela — toda informação necessária está na fórmula acima.

Passo 2

Vamos escrever a transformação T na forma de matriz em relação à base canônica. Explico como fazer isso passo a passo.
Quando uma transformação linear T age sobre (x,y) e devolve um vetor em \mathbb{R}^2, podemos representá-la por uma matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}.
Para encontrar A basta ver como T transforma os vetores da base canônica \mathbf{e}_1=(1,0) e \mathbf{e}_2=(0,1).]

Passo 3

Calculemos T(\mathbf{e}_1) e T(\mathbf{e}_2).
  • Pegando \mathbf{e}_1=(1,0) e usando a regra T(x,y)=(x,y+3x), obtemos
T(1,0)=(1,\;0+3\cdot1)=(1,3).
  • Pegando \mathbf{e}_2=(0,1), obtemos
T(0,1)=(0,\;1+3\cdot0)=(0,1).
Esses vetores são as colunas da matriz A. Portanto temos, em bloco:
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora vamos definir o que é o núcleo N(T) e como calculá-lo.
Definição: o núcleo N(T) é o conjunto de vetores v\in\mathbb{R}^2 tais que T(v)=0. Em termos da matriz A, isso significa resolver
A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Vou resolver esse sistema linear passo a passo.]

Passo 5

Escrevendo o sistema correspondente a A(x,y)^T=0\): \[\begin{cases} 1\cdot x + 0\cdot y = 0,\\[4pt] 3\cdot x + 1\cdot y = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x=0\]. Substituindo na segunda obtemos \(3\cdot 0 + y = 0, logo y=0.
Portanto a única solução é (x,y)=(0,0). Conclusão:
N(T)=\{(0,0)\}.
Comentário didático curto: quando o único vetor do núcleo é o vetor zero dizemos que T é injetora. Isso acontece quando a matriz associada é invertível (ou seja, tem determinante não nulo).]

Passo 6

Agora definimos a imagem \operatorname{Im}(T) e como encontrá-la.
Definição: \operatorname{Im}(T) é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como T(v) para algum v\in\mathbb{R}^2. Em termos da matriz A, \operatorname{Im}(T) é o espaço gerado pelas colunas de A (o span das colunas).
As colunas de A são \begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}. Logo
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}.]

Passo 7

Precisamos verificar se essas duas colunas geram todo \mathbb{R}^2 ou apenas um subespaço propriamente menor. Uma maneira rápida é calcular o determinante de A. Se \det(A)\neq 0, as colunas são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^2, então a imagem é \mathbb{R}^2.
Calculemos o determinante:
\det(A)=1\cdot 1 - 0\cdot 3 = 1.
Como \det(A)=1\neq 0, as colunas são linearmente independentes e, portanto,
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2.
Comentário didático extra: outra forma de ver isso sem determinante é tentar escrever um vetor arbitrário (u,v) como combinação linear das colunas. Resolveríamos
\alpha\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u\\[4pt]v\end{pmatrix},
o que dá \alpha=u e 3\alpha+\beta=v, sempre solucionável para qualquer u,v. Isso também mostra que todo (u,v) está na imagem.]

Passo 8

Recapitulando de forma clara e direta:
  • Núcleo: apenas o vetor zero, N(T)=\{(0,0)\}.
  • Imagem: todo o plano, \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2.

Resposta

N(T)=\{(0,0)\}\n \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2

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