Para cada uma das transformações
a seguir, calcule
e
Cisalhamento na direção de OY de fator
Passo 1
O enunciado pede que, para a transformação linear
dada por
, calculemos duas coisas: o núcleo
e a imagem
.
Informações dadas:
- A regra da transformação é
. - Não há figura ou tabela — toda informação necessária está na fórmula acima.
Passo 2
Vamos escrever a transformação
na forma de matriz em relação à base canônica. Explico como fazer isso passo a passo.
Quando uma transformação linear
age sobre
e devolve um vetor em
, podemos representá-la por uma matriz
tal que
Para encontrar
basta ver como
transforma os vetores da base canônica
e
.]
Passo 3
Calculemos
e
.
- Pegando
e usando a regra , obtemos
- Pegando
, obtemos
Esses vetores são as colunas da matriz
. Portanto temos, em bloco:
Passo 4
Agora vamos definir o que é o núcleo
e como calculá-lo.
Definição: o núcleo
é o conjunto de vetores
tais que
. Em termos da matriz
, isso significa resolver
Vou resolver esse sistema linear passo a passo.]
Passo 5
Escrevendo o sistema correspondente a
Da primeira equação vem
, logo
.
Portanto a única solução é
. Conclusão:
Comentário didático curto: quando o único vetor do núcleo é o vetor zero dizemos que
é injetora. Isso acontece quando a matriz associada é invertível (ou seja, tem determinante não nulo).]
Passo 6
Agora definimos a imagem
e como encontrá-la.
Definição:
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como
para algum
. Em termos da matriz
,
é o espaço gerado pelas colunas de
(o span das colunas).
As colunas de
são
e
. Logo
Passo 7
Precisamos verificar se essas duas colunas geram todo
ou apenas um subespaço propriamente menor. Uma maneira rápida é calcular o determinante de
. Se
, as colunas são linearmente independentes e formam uma base de
, então a imagem é
.
Calculemos o determinante:
Como
, as colunas são linearmente independentes e, portanto,
Comentário didático extra: outra forma de ver isso sem determinante é tentar escrever um vetor arbitrário
como combinação linear das colunas. Resolveríamos
o que dá
e
, sempre solucionável para qualquer
. Isso também mostra que todo
está na imagem.]
Passo 8
Recapitulando de forma clara e direta:
- Núcleo: apenas o vetor zero,
. - Imagem: todo o plano,
.