En cada uno de los ejercicios 1-12, calcule la integral doble de la función f(x, y) dada sobre el rectángulo Q.
f(x, y)=y, Q=[2,4] times[-2,0]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral dupla da função sobre o retângulo . Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a de -2 a 0, e depois em relação a de 2 a 4. Para isso, vamos precisar usar as propriedades das integrais duplas e entender como aplicar os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma mais explícita:
integral duplaQ y , dA = integralx=2^4 integraly=-2^0 y , dy , dx
Aqui, representa um elemento de área no retângulo , e estamos definindo os limites de de 2 a 4 e os de de -2 a 0.

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integraly=-2^0 y , dy :
integral y , dy = 12 y^2 + C
A integral de [ 12 y^2 ]-2^0 = 12 (0)^2 - 12 (-2)^2 = 0 - 12 (4) = -2 em relação a é:
Avaliar de -2 a 0:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integralx=2^4 (-2) , dx
Isso simplifica para:
-2 integral2^4 dx
A integral de integral2^4 dx = x |2^4 = 4 - 2 = 2 de 2 a 4 é simplesmente:

Passo 5

Multiplicamos o resultado da integral externa:
-2 times 2 = -4

Resposta

O valor da integral dupla é .

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