Seja f(x)=llbracket cos x rrbracket,-pi <= x <= pi.
© Para quais valores de a o limite lim x a f(x) existe?

Passo 1

O enunciado define a função f(x)=llbracketcos xrrbracket no intervalo [-pi,pi]. O conteúdo é análise de existência de limites de uma função em parte constante com descontinuidades de salto, e vamos precisar identificar onde cos x cruza valores inteiros, pois a função piso muda aí.

Passo 2

Observe que cos x varia em [-1,1]. Assim, os únicos valores inteiros que podem aparecer são -1,0,1. A equação cos x=0 ocorre em x=pmtfracpi2, cos x=1 em x=0 e cos x=-1 em x=pmpi.
Entre essas marcas, f(x)=lfloorcos xrfloor é constante. De fato, para xin(-pi,-tfracpi2)cup(tfracpi2,pi), temos cos x<0 e portanto
f(x)=-1
Para xin(-tfracpi2,0)cup(0,tfracpi2), 0 e
f(x)=0
E em x=0 isoladamente cos0=1 f(0)=1, enquanto em x=pmpi/2 f=lfloor0rfloor=0 e em x=pmpi f=lfloor-1rfloor=-1.

Passo 3

Agora, para verificar a existência de limxto af(x), basta checar se os limites laterais coincidem: * Em qualquer ponto interior aos trechos onde f é constante, o limite existe (é igual ao valor constante). * Em a=0, ambos os limites laterais valem 0 (mesmo que f(0)=1), logo o limite existe. * Em a=pmpi, a definição de limite em conjunto fechado usa apenas aproximação interna, e então o limite existe (vale -1). * Em a=pmtfracpi2, risca-se a linha: à esquerda f(x)=0, à direita f(x)=-1, limites diferentes, logo não existe.

Passo 4

Portanto, o limite limxto af(x) existe para todos os ain[-pi,pi] exceto nos pontos a=pmtfracpi2.

Resposta

O limite existe para todos os valores de a em [-pi,pi] com exceção de a=pmtfracpi2.

Exercícios relacionados