En cada uno de los ejercicios 1-12, calcule la integral doble de la función
dada sobre el rectángulo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla do exercício que pede para calcular a função
sobre o retângulo
. Isso significa que vamos integrar a função
primeiro em relação a
no intervalo de -1 a 5 e depois em relação a
de 3 a 7. Para isso, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas sobre regiões retangulares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla. Como o retângulo
está definido por
entre -1 e 5 e
entre 3 e 7, nossa integral fica assim:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral interna, que é a integral de
em relação a
de -1 a 5. Para isso, tratamos
como uma constante:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então
. Assim, a integral se torna:
Integrando
, temos:
Passo 4
Agora que resolvemos a integral interna, vamos substituir de volta e integrar em relação a
:
Podemos fatorar o 1/4:
Vamos integrar cada termo separadamente. Usando a regra da potência, a integral de
em relação a
é:
Aplicando isso aos dois termos:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular os valores nos limites de integração:
Primeiro, para
:
Segundo, para
:
Subtraindo os dois resultados:
Calculando os valores:
Substituindo:
Resposta
O valor da integral dupla é 512219.5.