En cada uno de los ejercicios 1-12, calcule la integral doble de la función f(x, y) dada sobre el rectángulo Q.
f(x, y)=(x+2 y)^3, Q=[-1,5] times[3,7]

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla do exercício que pede para calcular a função sobre o retângulo . Isso significa que vamos integrar a função primeiro em relação a no intervalo de -1 a 5 e depois em relação a de 3 a 7. Para isso, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas sobre regiões retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla. Como o retângulo integraly=3^7 integralx=-1^5 (x + 2y)^3 , dx , dy está definido por entre -1 e 5 e entre 3 e 7, nossa integral fica assim:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna, que é a integral de integralx=-1^5 (x + 2y)^3 , dx em relação a integralu=-1 + 2y^5 + 2y u^3 , du de -1 a 5. Para isso, tratamos [ u^44 ]-1 + 2y^5 + 2y = (5 + 2y)^44 - (-1 + 2y)^44 como uma constante:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja , então . Assim, a integral se torna:
Integrando , temos:

Passo 4

Agora que resolvemos a integral interna, vamos substituir de volta e integrar em relação a integral3^7 ( (5 + 2y)^44 - (-1 + 2y)^44 ) dy :
14 integral3^7 ( (5 + 2y)^4 - (-1 + 2y)^4 ) dy
Podemos fatorar o 1/4:
integral (a + by)^n dy = (a + by)^n+1b(n+1) + C
Vamos integrar cada termo separadamente. Usando a regra da potência, a integral de 14 [ (5 + 2y)^510 - (-1 + 2y)^510 ]3^7 em relação a é:
Aplicando isso aos dois termos:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular os valores nos limites de integração:
Primeiro, para 14 ( (5 + 14)^510 - (-1 + 14)^510 ) = 14 ( 19^510 - 13^510 ) :
14 ( (5 + 6)^510 - (-1 + 6)^510 ) = 14 ( 11^510 - 5^510 )
Segundo, para 14 times 10 ( 19^5 - 13^5 - 11^5 + 5^5 ) :
19^5 = 2476099, 13^5 = 371293, 11^5 = 161051, 5^5 = 3125
Subtraindo os dois resultados:
140 ( 2476099 - 371293 - 161051 + 3125 ) = 140 times 20488780 = 512219.5
Calculando os valores:
Substituindo:

Resposta

O valor da integral dupla é 512219.5.

Exercícios relacionados