En cada uno de los ejercicios 1-12, calcule la integral doble de la función f(x, y) dada sobre el rectángulo Q.
f(x, y)=x cos (2 x-y), Q=[1,2] times[3,4]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla da função sobre o retângulo . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas sobre regiões retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla sobre um retângulo pode ser calculada como uma integral iterada. Isso significa que a gente integra uma variável de cada vez. Aqui, nosso retângulo vai de até e de até .

Passo 3

Vamos configurar a integral dupla como uma integral iterada. Podemos escolher integrar primeiro em relação a integraly=3^4 ( integralx=1^2 x cos(2x - y) , dx ) dy e depois em relação a , ou vice-versa. Vamos optar por integrar primeiro em :

Passo 4

Agora, vamos focar na integral interna, que é integral u , dv = uv - integral v , du . Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como aqui.
A fórmula da integração por partes é:

Passo 5

Vamos identificar as partes v = integral cos(2x - y) , dx e :
  • Seja , então .
  • Seja .
Agora, precisamos encontrar . Para isso, vamos integrar :

Passo 6

Para encontrar v = integral cos(t) cdot dt2 = 12 sin(t) + C = 12 sin(2x - y) + C , fazemos uma substituição simples. Seja , então ou . Assim:

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x cos(2x - y) , dx = u v - integral v , du = x cdot 12 sin(2x - y) - integral 12 sin(2x - y) , dx

Passo 8

Precisamos resolver a segunda integral:
integral 12 sin(2x - y) , dx
Mais uma vez, fazemos a substituição integral 12 sin(t) cdot dt2 = 14 (-cos(t)) + C = -14 cos(2x - y) + C , :

Passo 9

Voltando à expressão da integração por partes:
x cdot 12 sin(2x - y) - ( -14 cos(2x - y) ) + C = x2 sin(2x - y) + 14 cos(2x - y) + C

Passo 10

Agora, avaliamos essa expressão de [ x2 sin(2x - y) + 14 cos(2x - y) ]1^2 até 22 sin(4 - y) + 14 cos(4 - y) = sin(4 - y) + 14 cos(4 - y) :
12 sin(2 - y) + 14 cos(2 - y)
Calculando para ( sin(4 - y) + 14 cos(4 - y) ) - ( 12 sin(2 - y) + 14 cos(2 - y) ) :
E para :
Subtraindo:

Passo 11

Agora, temos a integral externa:
integral3^4 [ sin(4 - y) - 12 sin(2 - y) + 14 cos(4 - y) - 14 cos(2 - y) ] dy
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 12

Integrando - cos(4 - y) + C :
12 cos(2 - y) + C
Integrando 14 sin(4 - y) + C :
- 14 sin(2 - y) + C
Integrando :
Integrando :

Passo 13

Juntando tudo e avaliando de [ - cos(4 - y) + 12 cos(2 - y) + 14 sin(4 - y) - 14 sin(2 - y) ]3^4 a - cos(0) + 12 cos(-2) + 14 sin(0) - 14 sin(-2) = -1 + 12 cos(2) + 0 + 14 sin(2) :
- cos(1) + 12 cos(-1) + 14 sin(1) - 14 sin(-1) = -cos(1) + 12 cos(1) + 14 sin(1) + 14 sin(1)
Calculando para -1 + 12 cos(2) + 14 sin(2) - ( -12 cos(1) + 12 sin(1) ) ) :
E para :
Simplificando:

Resposta

Após simplificar todas as expressões, a integral dupla de -1 + 12 cos(2) + 14 sin(2) + cos(1) - 12 sin(1) sobre o retângulo é:

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