En cada uno de los ejercicios 1-12, calcule la integral doble de la función
dada sobre el rectángulo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla da função
sobre o retângulo
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas sobre regiões retangulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla sobre um retângulo
pode ser calculada como uma integral iterada. Isso significa que a gente integra uma variável de cada vez. Aqui, nosso retângulo vai de
até
e de
até
.
Passo 3
Vamos configurar a integral dupla como uma integral iterada. Podemos escolher integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
, ou vice-versa. Vamos optar por integrar primeiro em
:
Passo 4
Agora, vamos focar na integral interna, que é
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como aqui.
A fórmula da integração por partes é:
Passo 5
Vamos identificar as partes
e
:
- Seja
, então . - Seja
.
Agora, precisamos encontrar
. Para isso, vamos integrar
:
Passo 6
Para encontrar
, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou
. Assim:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Passo 8
Precisamos resolver a segunda integral:
Mais uma vez, fazemos a substituição
,
:
Passo 9
Voltando à expressão da integração por partes:
Passo 10
Agora, avaliamos essa expressão de
até
:
Calculando para
:
E para
:
Subtraindo:
Passo 11
Agora, temos a integral externa:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 12
Integrando
:
Integrando
:
Integrando
:
Integrando
:
Passo 13
Juntando tudo e avaliando de
a
:
Calculando para
:
E para
:
Simplificando:
Resposta
Após simplificar todas as expressões, a integral dupla de
sobre o retângulo
é: