En cada uno de los ejercicios 1-12, calcule la integral doble de la función f(x, y) dada sobre el rectángulo Q.
f(x, y)=2 x+4 y, Q=[-2,2] times[2,3]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla da função sobre o retângulo . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis sobre uma região retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma integral dupla sobre um retângulo pode ser calculada iterando integrais simples. Ou seja, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a , ou vice-versa. Neste caso, vamos integrar primeiro em de -2 a 2 e depois em de 2 a 3.

Passo 3

Vamos começar integrando a função integral-2^2 (2x + 4y) , dx em relação a integral-2^2 2x , dx + integral-2^2 4y , dx , mantendo como constante:
Isso se separa em duas integrais:

Passo 4

Calculando a primeira integral:
integral-2^2 2x , dx = 2 [ x^22 ]-2^2 = [x^2]-2^2 = (2)^2 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0
A segunda integral:
integral-2^2 4y , dx = 4y integral-2^2 dx = 4y [x]-2^2 = 4y (2 - (-2)) = 4y times 4 = 16y

Passo 5

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
0 + 16y = 16y
Isso significa que a integral interna, em relação a , resulta em .

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado integral2^3 16y , dy em relação a 16 integral2^3 y , dy = 16 [ y^22 ]2^3 = 16 ( 3^22 - 2^22 ) = 16 ( 92 - 42 ) = 16 ( 52 ) = 16 times 2.5 = 40 de 2 a 3:
Vamos calcular essa integral:

Resposta

A integral dupla da função sobre o retângulo é igual a 40.

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