En cada uno de los ejercicios 1-12, calcule la integral doble de la función f(x, y) dada sobre el rectángulo Q.
f(x, y)=x^2 y e^x y, Q=[0,1] times[0,1]

Passo 1

Vamos resolver uma integral dupla! A questão pede para calcular a integral de sobre o retângulo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Precisaremos entender como integrar funções de duas variáveis e definir corretamente os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular uma integral dupla sobre um retângulo. A integral dupla representa o volume sob a superfície da função e acima da região no plano .

Passo 3

Vamos configurar a integral dupla. Como integral duplaQ x^2 y e^x y , dy , dx = integral0^1 ( integral0^1 x^2 y e^x y , dy ) dx , os limites de integração para e vão de 0 a 1. Assim, podemos escrever:

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a integral0^1 x^2 y e^x y , dy primeiro. A parte interna da integral é:
Aqui, é tratado como uma constante durante a integração em relação a .

Passo 5

Para integrar u = y Rightarrow du = dy em relação a dv = x^2 e^x y dy Rightarrow v = x^2x e^x y = x e^x y , usamos a técnica de integração por partes. Vamos definir:

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes integral0^1 x^2 y e^x y , dy = y cdot x e^x y g|0^1 - integral0^1 x e^x y , dy :

Passo 7

Calculamos o primeiro termo:
y cdot x e^x y g|0^1 = (1 cdot x e^x cdot 1) - (0 cdot x e^x cdot 0) = x e^x
E a segunda integral:
integral0^1 x e^x y , dy = x cdot integral0^1 e^x y , dy = x cdot ( e^x yx ) g|0^1 = ( e^x - 1 )

Passo 8

Substituindo de volta:
integral0^1 x^2 y e^x y , dy = x e^x - (e^x - 1) = x e^x - e^x + 1 = (x - 1) e^x + 1

Passo 9

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 ( (x - 1) e^x + 1 ) dx = integral0^1 (x - 1) e^x , dx + integral0^1 1 , dx

Passo 10

Vamos resolver cada parte separadamente. Primeira parte:
integral (x - 1) e^x , dx
Usamos integração por partes novamente:
u = x - 1 Rightarrow du = dx
dv = e^x dx Rightarrow v = e^x
Então:
integral (x - 1) e^x , dx = (x - 1) e^x - integral e^x , dx = (x - 1) e^x - e^x + C = (x - 2) e^x + C
Para [ (x - 2) e^x ]0^1 = (1 - 2) e^1 - (0 - 2) e^0 = (-1)e - (-2)(1) = -e + 2 de 0 a 1:
integral0^1 1 , dx = x g|0^1 = 1 - 0 = 1
Segunda parte:

Resposta

Somando as duas partes:
- e + 2 + 1 = -e + 3
Portanto, o valor da integral dupla é .

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