En cada uno de los ejercicios 1-12, calcule la integral doble de la función dada sobre el rectángulo .
Passo 1
Vamos resolver uma integral dupla! A questão pede para calcular a integral de sobre o retângulo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Precisaremos entender como integrar funções de duas variáveis e definir corretamente os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular uma integral dupla sobre um retângulo. A integral dupla representa o volume sob a superfície da função e acima da região no plano .
Passo 3
Vamos configurar a integral dupla. Como , os limites de integração para e vão de 0 a 1. Assim, podemos escrever:
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a primeiro. A parte interna da integral é:
Aqui, é tratado como uma constante durante a integração em relação a .
Passo 5
Para integrar em relação a , usamos a técnica de integração por partes. Vamos definir:
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Passo 7
Calculamos o primeiro termo:
y cdot x e^x y g|0^1 = (1 cdot x e^x cdot 1) - (0 cdot x e^x cdot 0) = x e^x
E a segunda integral:
integral0^1 x e^x y , dy = x cdot integral0^1 e^x y , dy = x cdot ( e^x yx ) g|0^1 = ( e^x - 1 )
Passo 8
Substituindo de volta:
integral0^1 x^2 y e^x y , dy = x e^x - (e^x - 1) = x e^x - e^x + 1 = (x - 1) e^x + 1
Passo 9
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa: