En cada uno de los ejercicios 1-12, calcule la integral doble de la función
dada sobre el rectángulo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral dupla! A gente precisa calcular a integral da função
sobre o retângulo
. Isso envolve entender como integrar uma função de duas variáveis em uma região retangular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla sobre um retângulo pode ser feita iterando integrais simples. Ou seja, vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
(ou vice-versa).
Passo 3
Vamos definir os limites de integração. Para
, ele varia de 1 a 2, e para
, varia de 0 a 3. Então, a integral dupla fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
. Trate
como constante:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 6
Resolvemos a integral em relação a
:
Passo 7
Multiplicamos os resultados:
Passo 8
Podemos simplificar a expressão reorganizando os termos: