En cada uno de los ejercicios 1-12, calcule la integral doble de la función f(x, y) dada sobre el rectángulo Q.
f(x, y)=e^x+y, Q=[1,2] times[0,3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral dupla! A gente precisa calcular a integral da função sobre o retângulo . Isso envolve entender como integrar uma função de duas variáveis em uma região retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla sobre um retângulo pode ser feita iterando integrais simples. Ou seja, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a (ou vice-versa).

Passo 3

Vamos definir os limites de integração. Para integraly=0^3 integralx=1^2 e^x+y , dx , dy , ele varia de 1 a 2, e para , varia de 0 a 3. Então, a integral dupla fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a integralx=1^2 e^x+y , dx = e^y integralx=1^2 e^x , dx = e^y [ e^x ]1^2 = e^y (e^2 - e^1) = e^y (e^2 - e) . Trate como constante:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integraly=0^3 e^y (e^2 - e) , dy = (e^2 - e) integraly=0^3 e^y , dy

Passo 6

Resolvemos a integral em relação a integraly=0^3 e^y , dy = [ e^y ]0^3 = e^3 - e^0 = e^3 - 1 :

Passo 7

Multiplicamos os resultados:
(e^2 - e)(e^3 - 1) = e^2e^3 - e^2 - e cdot e^3 + e = e^5 - e^2 - e^4 + e

Passo 8

Podemos simplificar a expressão reorganizando os termos:
e^5 - e^4 - e^2 + e

Resposta

e^5 - e^4 - e^2 + e

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