En cada uno de los ejercicios 1-12, calcule la integral doble de la función f(x, y) dada sobre el rectángulo Q.
f(x, y)=2 x y, Q=[-1,0] times[0,1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla da função sobre o retângulo . Isso significa que vamos somar todos os valores de dentro desse retângulo. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integrais duplas, que permite integrar uma função de duas variáveis sobre uma região específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. O retângulo integralx=-1^0 integraly=0^1 2xy , dy , dx está definido por variando de -1 a 0 e variando de 0 a 1. Isso nos dá os limites para as integrais internas e externas. Então, a integral dupla fica assim:

Passo 3

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a integral0^1 2xy , dy = 2x integral0^1 y , dy . Mantendo 2x [ y^22 ]0^1 = 2x ( 1^22 - 0^22 ) = 2x ( 12 ) = x constante, integramos em relação a :
A integral de em relação a é , então:

Passo 4

Agora que temos o resultado da integral interna, substituímos na integral externa e integramos em relação a integral-1^0 x , dx :
[ x^22 ]-1^0 = 0^22 - (-1)^22 = 0 - 12 = -12
A integral de em relação a é , então:

Resposta

A integral dupla de sobre o retângulo é .

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