En cada uno de los ejercicios 1-12, calcule la integral doble de la función
dada sobre el rectángulo
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral dupla da função sobre o retângulo
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas em domínios retangulares.
Passo 2
Para resolver, precisamos configurar a integral dupla. Em um retângulo
, a integral dupla de
é dada por:
Aqui,
,
,
, e
.
Passo 3
Substituindo os valores, temos:
Primeiro, vamos integrar em relação a
, tratando
como constante.
Passo 4
Para integrar em relação a
, fazemos uma substituição. Seja
, então
, ou seja,
.
A integral fica:
Passo 5
Aplicando os limites de integração de
a
:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Podemos simplificar isso como:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de
em relação a
é .
Aqui, temos:
Passo 8
Aplicando isso:
Passo 9
Agora, substituímos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 10
Calculando as diferenças:
Resposta
A integral dupla é: