En cada uno de los ejercicios 1-12, calcule la integral doble de la función f(x, y) dada sobre el rectángulo Q.
f(x, y)=sen(x+4 y), Q=[2,5] times[3,6]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral dupla da função sobre o retângulo . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas em domínios retangulares.

Passo 2

Para resolver, precisamos configurar a integral dupla. Em um retângulo integrala^b integralc^d f(x,y) , dy , dx , a integral dupla de é dada por:
Aqui, , , , e .

Passo 3

Substituindo os valores, temos:
Primeiro, vamos integrar em relação a integral2^5 integral3^6 sen(x + 4y) , dy , dx , tratando como constante.

Passo 4

Para integrar em relação a integral sen(u) cdot du4 = -cos(u)4 + C , fazemos uma substituição. Seja , então , ou seja, .
A integral fica:

Passo 5

Aplicando os limites de integração de -cos(x + 4 cdot 6)4 + cos(x + 4 cdot 3)4 = -cos(x + 24)4 + cos(x + 12)4 a :

Passo 6

Agora, a integral fica:
integral2^5 ( -cos(x + 24)4 + cos(x + 12)4 ) dx
Podemos simplificar isso como:
14 integral2^5 ( cos(x + 12) - cos(x + 24) ) dx

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de integral cos(x + c) , dx = sen(x + c) + C em relação a é .
Aqui, temos:

Passo 8

Aplicando isso:

Passo 9

Agora, substituímos os limites de integração:
Para sen(5 + 12) = sen(17), sen(5 + 24) = sen(29) :
Para sen(2 + 12) = sen(14), sen(2 + 24) = sen(26) :

Passo 10

Calculando as diferenças:

Resposta

A integral dupla é:

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