Em cada uns dos problemas encontre a solução do PVI.
ly^prime prime+4 y=de

Passo 1

A gente tem o PVI com um ODE forçado por deltas: y’’ + 4y = δ(t−π) − δ(t−4π), com y(0)=1/2 e y’(0)=0. O conteúdo é ODE linear de 2ª ordem com resposta a impulso, então vamos precisar: resolver a homogênea, achar a resposta ao impulso h(t) e usar o princípio da superposição com deslocamento dos impulsos.

Passo 2

Primeiro, a parte homogênea: y’’+4y=0 tem solução geral y_h(t)=A cos(2t)+B sin(2t). Aplicando as condições iniciais em t=0, y(0)=A=1/2 e y’(t)=−2A sin(2t)+2B cos(2t) dá y’(0)=2B=0 → B=0. Logo y_h(t)=½ cos(2t).

Passo 3

Em seguida, a resposta ao impulso h(t) resolve h’’+4h=δ(t), com h(0)=0, h’(0)=0. Fazendo transformada de Laplace ou observando que h é a solução particular, obtemos h(t)=(1/2)sin(2t)u(t), onde u é a função degrau.

Passo 4

Como o forçamento tem dois impulsos deslocados, usamos superposição: y_p(t)=h(t−π)−h(t−4π). Isso corresponde a adicionar (1/2)sin[2(t−π)] para t>π e subtrair (1/2)sin[2(t−4π)] para t>4π.

Passo 5

Por fim, somamos y_h(t)+y_p(t) e simplificamos usando o fato de que sin[2(t−π)]=sin(2t) e sin[2(t−4π)]=sin(2t). O resultado final em termos de degraus é a forma mais compacta da solução.

Resposta

y(t)=12cos(2t)+12sin(2t)l[u(t-pi)-u(t-4pi)r]

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