Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
sumn=2^infty n^2n^3+1

Passo 1

A gente tem a série sumn=2^infty n^2n^3+1. O conteúdo aqui é o Teste da Integral: a ideia é comparar a soma com a integral imprópria de uma função contínua, positiva e decrescente f(x) que para x=n coincide com o termo geral. Vamos usar f(x)=x^2x^3+1 e verificar a convergência de integral2^inftyf(x),dx.

Passo 2

Primeiro, confirmamos as condições do Teste da Integral: f(x)=x^2x^3+1>0 para x>=2. Para ver que f é decrescente, calculamos a derivada:
f'(x)=2x(x^3+1)-3x^4(x^3+1)^2=-x^4+2x(x^3+1)^2=x(-x^3+2)(x^3+1)^2
Em particular, para x>=2 temos -x^3+2<= -6<0, logo f'(x)<0. Assim, todas as hipóteses do teste valem.

Passo 3

Agora, vamos avaliar a integral imprópria:
integral2^inftyx^2x^3+1,dx
Fazendo a substituição u=x^3+1, vem du=3x^2,dx, ou seja, x^2,dx=du3. Logo
integral2^Tx^2x^3+1,dx=13integralu(2)=9^u(T)=T^3+1duu=13l[ln(u)r]9^T^3+1=13l(ln(T^3+1)-ln9r)
Quando Ttoinfty, ln(T^3+1)toinfty, então a integral diverge.

Passo 4

Como a integral imprópria de f(x) diverge e f(x) satisfaz as hipóteses do Teste da Integral, a série sumn=2^infty n^2n^3+1 também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados