Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
A gente tem a série
. O conteúdo aqui é o Teste da Integral: a ideia é comparar a soma com a integral imprópria de uma função contínua, positiva e decrescente
que para
coincide com o termo geral. Vamos usar
e verificar a convergência de
.
Passo 2
Primeiro, confirmamos as condições do Teste da Integral:
para
. Para ver que
é decrescente, calculamos a derivada:
Em particular, para
temos
, logo
. Assim, todas as hipóteses do teste valem.
Passo 3
Agora, vamos avaliar a integral imprópria:
Fazendo a substituição
, vem
, ou seja,
. Logo
Quando
,
, então a integral diverge.
Passo 4
Como a integral imprópria de
diverge e
satisfaz as hipóteses do Teste da Integral, a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.