Obtenha a derivada das seguintes funções: n) f(x)=e^x-1x+1

Passo 1

A gente tem a função f(x)=e^{(x-1)/(x+1)}, ou seja, é uma exponencial cuja base é e e o expoente é g(x)=(x-1)/(x+1). Para derivar, vamos precisar usar a regra da cadeia (derivada da exponencial) junto com a regra do quociente (para derivar g).

Passo 2

Vamos calcular g’(x). Pela regra do quociente, se g(x)=\frac{u(x)}{v(x)} com u(x)=x-1 e v(x)=x+1, então
g'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2=1cdot(x+1)-(x-1)cdot1(x+1)^2=x+1-x+1(x+1)^2=2(x+1)^2

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para f(x)=e^{g(x)}. A derivada da exponencial é ela mesma vezes a derivada do expoente, ou seja,
f'(x)=e^g(x)cdot g'(x)=e^x-1x+1cdot2(x+1)^2

Resposta

f'(x)=2,e^x-1x+1(x+1)^2

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