Em cada uns dos problemas verifique se as funções dadas são períodicas. Se for, encontre seu período fundamenntal
f(x)=cos (2 pi x), f(x)=sen(5 x), f(x)=x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se as funções dadas são periódicas e, se forem, encontrar o período fundamental delas. Vamos trabalhar com três funções: $ f(x) = \cos(2\pi x) $, $ f(x) = \sin(5x) $ e $ f(x) = x^2 $. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma função ser periódica e como identificar o período fundamental usando as propriedades das funções trigonométricas e análise de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre periodicidade. Uma função $ f(x) $ é periódica se existe um número positivo $ T $ tal que $ f(x + T) = f(x) $ para todo $ x $. O menor valor positivo de $ T $ que satisfaz essa condição é chamado de período fundamental.

Passo 3

Vamos começar com a primeira função: $ f(x) = \cos(2\pi x) $.
A função cosseno é uma função trigonométrica periódica. A forma geral é $ \cos(bx) $, onde o período é dado por $ T = \frac{2\pi}{|b|} $.
Aqui, $ b = 2\pi $. Então, o período é:
f(x) = cos(2pi x)
Portanto, $ f(x) = \cos(2\pi x) $ é periódica com período fundamental igual a 1.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda função: $ f(x) = \sin(5x) $.
A função seno também é uma função trigonométrica periódica, com a forma geral $ \sin(bx) $ e período $ T = \frac{2\pi}{|b|} $.
Aqui, $ b = 5 $. Então, o período é:
f(x) = sin(5x)
Então, $ f(x) = \sin(5x) $ é periódica com período fundamental igual a $ \frac{2\pi}{5} $.

Passo 5

Por último, vamos analisar a função $ f(x) = x^2 $.
Funções polinomiais como $ x^2 $ não são periódicas. Isso porque, para que uma função seja periódica, ela deve repetir seus valores em intervalos regulares, o que não acontece com $ x^2 $. Se tentarmos encontrar um período $ T $ que satisfaça $ (x + T)^2 = x^2 $ para todo $ x $, veremos que isso não é possível a menos que $ T = 0 $, o que não é considerado um período válido.

Resposta

A função $ f(x) = \cos(2\pi x) $ é periódica com período fundamental igual a 1. A função $ f(x) = \sin(5x) $ é periódica com período fundamental igual a $ \frac{2\pi}{5} $. A função $ f(x) = x^2 $ não é periódica.

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