Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
i) f(x, y, z)=x y arcsin (y z)

Passo 1

Temos a função f(x,y,z)=x,y,arcsin(yz). O conteúdo é derivadas parciais de primeira ordem e vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, tratamos y e arcsin(yz) como constantes. Logo,
partial fpartial x=y,arcsin(yz)

Passo 3

Para partial fpartial y, escrevemos f(x,y,z)=xcdot g(y,z) com g(y,z)=yarcsin(yz) e aplicamos a regra do produto:
partial gpartial y=arcsin(yz)+ycdot1raiz1-(yz)^2cdot zMultiplicando por x, obtemos
partial fpartial y=xl(arcsin(yz)+y zraiz1-(yz)^2r)

Passo 4

Para partial fpartial z, x e y são constantes e usamos a derivada de arcsin(u):
dduarcsin(u)=1raiz1-u^2com u=yzEntão
partial fpartial z=x,ycdot1raiz1-(yz)^2cdot y=x,y^2raiz1-(yz)^2

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
partial fpartial x=y,arcsin(yz),
partial fpartial y=xl(arcsin(yz)+tfracy zraiz1-(yz)^2r),
partial fpartial z=tfracx,y^2raiz1-(yz)^2

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