Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções a seguir.
d)
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Passo 1
O problema pede para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y)=x sen(x+2y). O conteúdo envolvido é derivada parcial em funções de duas variáveis, usando regra do produto e regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Para ∂f/∂x aplicamos a regra do produto em x·sen(u) com u=x+2y e a regra da cadeia em sen(u):
Para ∂f/∂y x é constante e só vem da cadeia em sen(x+2y):
Passo 3
Agora calculamos as derivadas de segunda ordem que envolvem derivar ∂f/∂x. Primeiro ∂²f/∂x²:
Aí:
Somando:
Agora ∂²f/∂x∂y derivando ∂f/∂x em relação a y:
Somando:
Passo 4
Por fim, derivamos ∂f/∂y para obter ∂²f/∂y∂x e ∂²f/∂y². Para ∂²f/∂y∂x:
E para ∂²f/∂y²:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são: