Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções a seguir.
d) f(x, y)=x sen(x+2 y)

Passo 1

O problema pede para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y)=x sen(x+2y). O conteúdo envolvido é derivada parcial em funções de duas variáveis, usando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Para ∂f/∂x aplicamos a regra do produto em x·sen(u) com u=x+2y e a regra da cadeia em sen(u):
∂f∂x=1·sin(x+2y)+x·cos(x+2y)·1
Para ∂f/∂y x é constante e só vem da cadeia em sen(x+2y):
∂f∂y=x·cos(x+2y)·2=2xcos(x+2y)

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem que envolvem derivar ∂f/∂x. Primeiro ∂²f/∂x²:
∂^2f∂x^2=ddx[sin(x+2y)]+ddx[xcos(x+2y)]
Aí:
ddx[sin(x+2y)]=cos(x+2y),
ddx[xcos(x+2y)]=1·cos(x+2y)+x·(-sin(x+2y))·1
Somando:
∂^2f∂x^2=2cos(x+2y)-xsin(x+2y)
Agora ∂²f/∂x∂y derivando ∂f/∂x em relação a y:
∂^2f∂x∂y=ddy[sin(x+2y)]+ddy[xcos(x+2y)]
ddy[sin(x+2y)]=2cos(x+2y),
ddy[xcos(x+2y)]=x·(-sin(x+2y))·2=-2xsin(x+2y)
Somando:
∂^2f∂x∂y=2cos(x+2y)-2xsin(x+2y)

Passo 4

Por fim, derivamos ∂f/∂y para obter ∂²f/∂y∂x e ∂²f/∂y². Para ∂²f/∂y∂x:
∂^2f∂y∂x=ddx[2xcos(x+2y)]
=2·cos(x+2y)+2x·(-sin(x+2y))·1=2cos(x+2y)-2xsin(x+2y)
E para ∂²f/∂y²:
∂^2f∂y^2=ddy[2xcos(x+2y)]
=2x·(-sin(x+2y))·2=-4xsin(x+2y)

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
∂^2f∂x^2=2cos(x+2y)-xsin(x+2y),
∂^2f∂x∂y=∂^2f∂y∂x=2cos(x+2y)-2xsin(x+2y),
∂^2f∂y^2=-4xsin(x+2y)

Exercícios relacionados