Determine a distância do centro de uma esfera inscrita em um cubo a um dos vértices do cubo, sabendo que a superfície da esfera mede 54,76 \pi \mathrm{~cm}^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a área da superfície de uma esfera inscrita em um cubo e pede a distância do centro da esfera (que coincide com o centro do cubo) até um vértice do cubo.
Informações fornecidas:
  • Área da superfície da esfera: \,54,76\pi\\ \text{cm}^2.
O que é pedido:
  • A distância do centro da esfera (centro do cubo) a um dos vértices do cubo (em centímetros).

Passo 2

Vamos achar primeiro o raio da esfera a partir da área da superfície. A fórmula da área da superfície de uma esfera é:
S = 4\pi r^{2},
onde:
  • S é a área da superfície (em \text{cm}^2);
  • r é o raio da esfera (em \text{cm}).
Substituindo S=54,76\pi na fórmula:
4\pi r^{2} = 54,76\pi.
Dividindo ambos os lados por \pi (que é comum nos dois lados):
4 r^{2} = 54,76.
Agora isolamos r^{2}:
r^{2} = \frac{54,76}{4} = 13,69.
Logo o raio é a raiz quadrada:
r = \sqrt{13,69}.
Observando que 3,7^{2}=13,69, concluímos
r = 3,7\\ \text{cm}.

Passo 3

Como a esfera é inscrita no cubo, ela toca as seis faces do cubo em seus centros. Isso significa que o diâmetro da esfera é igual à aresta do cubo. Chamando a aresta do cubo de a, temos:
a = 2r.
Substituindo r=3,7:
a = 2\cdot 3,7 = 7,4\\ \text{cm}.

Passo 4

Agora vamos determinar a distância do centro do cubo a um vértice. Colocando o centro do cubo na origem do sistema de coordenadas, um vértice pode ser representado por \left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2}\right). A distância d do centro (origem) a esse vértice é dada pela fórmula da distância em \mathbb{R}^3 (aplicação do teorema de Pitágoras em 3 dimensões):
d = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}.
Somando os três termos iguais:
d = \sqrt{3\left(\frac{a}{2}\right)^{2}} = \frac{a}{2}\sqrt{3}.
Como \dfrac{a}{2}=r, podemos simplificar para:
d = r\sqrt{3}.

Passo 5

Substituindo r=3,7\\ \text{cm} na expressão obtida:
d = 3,7\sqrt{3}\\ \text{cm}.
Para ter uma aproximação numérica, usamos \sqrt{3}\approx 1,73205:
d \approx 3,7\times 1,73205 \approx 6,4086\\ \text{cm} \approx 6,41\\ \text{cm}.

Resposta

3,7\sqrt{3}\\ \text{cm}
\approx 6,41\\ \text{cm}

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