Determine a distância do centro de uma esfera inscrita em um cubo a um dos vértices do cubo, sabendo que a superfície da esfera mede
.
Passo 1
O enunciado nos dá a área da superfície de uma esfera inscrita em um cubo e pede a distância do centro da esfera (que coincide com o centro do cubo) até um vértice do cubo.
Informações fornecidas:
- Área da superfície da esfera:
.
O que é pedido:
- A distância do centro da esfera (centro do cubo) a um dos vértices do cubo (em centímetros).
Passo 2
Vamos achar primeiro o raio da esfera a partir da área da superfície. A fórmula da área da superfície de uma esfera é:
onde:
-
é a área da superfície (em ); -
é o raio da esfera (em ).
Substituindo
na fórmula:
Dividindo ambos os lados por
(que é comum nos dois lados):
Agora isolamos
:
Logo o raio é a raiz quadrada:
Observando que
, concluímos
Passo 3
Como a esfera é inscrita no cubo, ela toca as seis faces do cubo em seus centros. Isso significa que o diâmetro da esfera é igual à aresta do cubo. Chamando a aresta do cubo de
, temos:
Substituindo
:
Passo 4
Agora vamos determinar a distância do centro do cubo a um vértice. Colocando o centro do cubo na origem do sistema de coordenadas, um vértice pode ser representado por
. A distância
do centro (origem) a esse vértice é dada pela fórmula da distância em
(aplicação do teorema de Pitágoras em 3 dimensões):
Somando os três termos iguais:
Como
, podemos simplificar para:
Passo 5
Substituindo
na expressão obtida:
Para ter uma aproximação numérica, usamos
: