Em cada vértice de um quadrado há uma partícula com carga q. Fixada no centro do quadrado, está uma carga de sinal oposto e magnitude Q. Qual deve ser o valor de Q para tornar a força sobre cada uma das cargas igual a zero? Com Q ajustado com esse valor, o sistema, na ausência de outras forças, estaria em equilíbrio. Você acha que o equilíbrio seria estável?
a. 0.957 q ; sim
b. 0.957 q; não
c. 1.72 q; sim
d. 1.72 q; não

Passo 1

Então, a questão diz que temos um quadrado de lado a, com cargas +q em cada vértice e uma carga Q de sinal oposto bem preso no centro. Preciso achar que valor de Q faz a força total sobre cada carga q ficar zero, e depois comentar se esse ponto de equilíbrio é estável ou não. O conteúdo é eletrostática: usar a lei de Coulomb e o princípio da superposição de forças.

Passo 2

Primeiro, lembra da lei de Coulomb: duas cargas q₁ e q₂ a uma distância r sentem uma força
F = k,q1,q2r^2
e a direção vai na linha que une as cargas. Aqui cada carga num vértice sente:
  1. repulsão das outras três cargas q nos outros vértices,
  2. atração da carga Q no centro.

Passo 3

Calcular a repulsão das outras três q sobre a carga num vértice, digamos A:
  • Duas cargas nos vértices adjacentes estão a distância a. Cada uma empurra com Frm lado = k,q^2a^2Essas duas estão em direções perpendiculares, então a soma vetorial forma um vetor ao longo da diagonal, de módulo 2,Frm lado,cos 45^circ = 2,kq^2a^2,1raiz2 = raiz2,kq^2a^2
  • A carga no vértice oposto está a distância da diagonal Frm diag = k,q^2l(araiz2r)^2 = kq^22a^2, empurrando com Frm repulsão = raiz2,kq^2a^2 ;+;kq^22a^2 = k,q^2a^2!l(raiz2 + tfrac12r)
Somando essas três repulsões (todas ao longo da mesma direção, pra fora do centro), o módulo resultante é
ã

Passo 4

Agora a atração da carga Q no centro, que fica a meio caminho da diagonal, ou seja a distância Frm centro = k,q,Ql(tfracaraiz2r)^2 = k,q,Qtfraca^22 = 2,k,q,Qa^2 . Essa força aponta pra dentro e vale
2,k,q,Qa^2 = k,q^2a^2!l(raiz2 + tfrac12r) Longrightarrow Q = q^22ql(raiz2 + tfrac12r) = q;raiz2 + 0.52 approx 0.957,q
Para ficar tudo em equilíbrio a atração deve anular a repulsão:

Passo 5

Sobre estabilidade: em eletrostática pura vale o teorema de Earnshaw, que diz que não dá pra ter equilíbrio estável só com cargas fixas (não existe um mínimo de energia potencial). Logo esse ponto é instável.

Resposta

O valor deve ser (de sinal oposto a q) e o equilíbrio NÃO é estável. (Alternativa b)

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