1. Em cada vértice de um triângulo eqüilátero de lado igual a a existe uma carga q. Determine o módulo da força que atua sobre qualquer uma das três cargas em função de a e q. Resp. \sqrt{3} q^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} a^{2}

Passo 1

O enunciado dá um triângulo equilátero com lado igual a \,a, e coloca em cada vértice uma carga elétrica igual a \,q. Pede-se o módulo da força elétrica resultante que atua sobre qualquer uma das três cargas (ou seja, a força sobre uma carga devido às outras duas). Informações relevantes fornecidas:
  • lado do triângulo: \,a;
  • cargas puntiformes iguais: \,q em cada vértice;
  • querem o módulo da força resultante em função de \,a e \,q.

Passo 2

Primeiro conceito importante: a Lei de Coulomb dá a intensidade da força elétrica entre duas cargas puntiformes. A fórmula é
F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}},
onde \,q_{1} e \,q_{2} são as cargas, \,r é a distância entre elas e \,\varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo. No nosso caso, todas as distâncias entre pares de cargas valem \,a e todas as cargas valem \,q, então a intensidade da força que uma carga exerce sobre outra (força entre duas cargas vizinhas) é
F_{0}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q^{2}}{a^{2}}.

Passo 3

Por simetria, basta calcular a força sobre a carga situada no vértice superior (chamemos de P). As outras duas cargas estão nos vértices da base. Cada uma delas exerce sobre P uma força de módulo \,F_{0} ao longo dos lados do triângulo, com direções simétricas em relação à vertical que passa por P. Precisamos decompor essas duas forças em componentes horizontal e vertical. Para isso é útil achar o ângulo que o lado do triângulo faz com a vertical: em um triângulo equilátero a altura vale
h=\frac{\sqrt{3}}{2}a,
e a metade da base vale \,a/2. Tomando o triângulo retângulo formado pela metade da base, a altura e o lado, o ângulo entre o lado e a vertical é \,30^\circ (pois \tan 30^\circ = \dfrac{a/2}{(\sqrt{3}/2)a} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}). Assim o ângulo entre cada força F_{0} e a vertical é \,30^\circ. Outra forma de ver: \cos 30^\circ = \dfrac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\dfrac{h}{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Agora decomponha cada força \,F_{0} em componentes vertical e horizontal. Para uma das forças:
  • componente vertical (para cima): F_{0}\cos 30^\circ;
  • componente horizontal (para dentro, uma à esquerda e a outra à direita): F_{0}\sin 30^\circ.
Como as duas forças são simétricas, as componentes horizontais têm mesmo módulo e sentidos opostos, então se anulam. As componentes verticais têm o mesmo sentido (ambas dirigidas para cima, já que as cargas na base repelem P para cima), portanto somam. Logo a componente vertical total (que é a resultante, pois a horizontal zera) é
F = 2\,F_{0}\cos 30^\circ.

Passo 5

Substituímos F_{0} e \cos 30^\circ. Sabemos que \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e F_{0}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q^{2}}{a^{2}}. Assim
F = 2\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q^{2}}{a^{2}}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Simplificando os fatores 2 e \tfrac{1}{2} obtemos
F = \frac{\sqrt{3}}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q^{2}}{a^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{3}\,q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,a^{2}}

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