- Em cada vértice de um triângulo eqüilátero de lado igual a
existe uma carga
. Determine o módulo da força que atua sobre qualquer uma das três cargas em função de
e
. Resp.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo equilátero com lado igual a
, e coloca em cada vértice uma carga elétrica igual a
. Pede-se o módulo da força elétrica resultante que atua sobre qualquer uma das três cargas (ou seja, a força sobre uma carga devido às outras duas). Informações relevantes fornecidas:
- lado do triângulo:
; - cargas puntiformes iguais:
em cada vértice; - querem o módulo da força resultante em função de
e .
Passo 2
Primeiro conceito importante: a Lei de Coulomb dá a intensidade da força elétrica entre duas cargas puntiformes. A fórmula é
onde
e
são as cargas,
é a distância entre elas e
é a permissividade do vácuo. No nosso caso, todas as distâncias entre pares de cargas valem
e todas as cargas valem
, então a intensidade da força que uma carga exerce sobre outra (força entre duas cargas vizinhas) é
Passo 3
Por simetria, basta calcular a força sobre a carga situada no vértice superior (chamemos de
). As outras duas cargas estão nos vértices da base. Cada uma delas exerce sobre
uma força de módulo
ao longo dos lados do triângulo, com direções simétricas em relação à vertical que passa por
. Precisamos decompor essas duas forças em componentes horizontal e vertical. Para isso é útil achar o ângulo que o lado do triângulo faz com a vertical: em um triângulo equilátero a altura vale
e a metade da base vale
. Tomando o triângulo retângulo formado pela metade da base, a altura e o lado, o ângulo entre o lado e a vertical é
(pois
). Assim o ângulo entre cada força
e a vertical é
. Outra forma de ver:
.
Passo 4
Agora decomponha cada força
em componentes vertical e horizontal. Para uma das forças:
- componente vertical (para cima):
; - componente horizontal (para dentro, uma à esquerda e a outra à direita):
.
Como as duas forças são simétricas, as componentes horizontais têm mesmo módulo e sentidos opostos, então se anulam. As componentes verticais têm o mesmo sentido (ambas dirigidas para cima, já que as cargas na base repelem
para cima), portanto somam. Logo a componente vertical total (que é a resultante, pois a horizontal zera) é
Passo 5
Substituímos
e
. Sabemos que
e
. Assim
Simplificando os fatores
e
obtemos