Calcule o comprimento de onda e a frequência dos limites inferiores e superiores das séries de Lyman, Balmer e Paschen do espectro de emissão do átomo de hidrogênio.

Passo 1

O que o problema pede: Calcular o comprimento de onda e a frequência dos limites inferiores e superiores das séries de emissão de hidrogênio conhecidas como Lyman, Balmer e Paschen.
Informações relevantes fornecidas ou que usaremos:
  • Vamos tratar cada série como a sequência de transições eletrônicas para um nível inicial fixo n_f: Lyman tem n_f=1, Balmer tem n_f=2 e Paschen tem n_f=3.
  • Definição operacional dos limites (importante para não confundir):
    • Limite inferior (no sentido de comprimento de onda) = menor comprimento de onda da série = transição de n_i\to n_f com n_i\to\infty (série limite, maior energia possível dentro da série).
    • Limite superior (no sentido de comprimento de onda) = maior comprimento de onda da série = transição imediata acima de n_f, isto é n_i=n_f+1\to n_f (menor energia de emissão na série).
  • Constantes físicas que usarei (valores usualmente adotados): R = 1{,}0973731568508\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}
c = 2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}
  • Resultado pedido para cada limite: comprimento de onda \lambda (em metros e em nanômetros) e frequência \nu (em hertz).

Passo 2

Fórmula que conecta as transições do átomo de hidrogênio (fórmula de Rydberg) e explicação do que cada símbolo significa.
A fórmula que dá o número de ondas (recíproco do comprimento de onda) de uma transição entre níveis n_i (inicial, maior) e n_f (final, menor) é:
\frac{1}{\lambda} = R\!\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right).
Onde:
  • \lambda é o comprimento de onda da radiação emitida (em metros),
  • R é a constante de Rydberg para o hidrogênio (em \mathrm{m^{-1}}),
  • n_f é o número quântico do nível final (fixo para a série),
  • n_i é o número quântico do nível inicial (variando, com n_i>n_f).
A frequência \nu está relacionada ao comprimento de onda por:
\nu = \frac{c}{\lambda},
onde c é a velocidade da luz.

Passo 3

Expressões específicas para os limites que precisamos (explico por que).
  1. Limite inferior do comprimento de onda (menor \lambda, série limite): tomar n_i\to\infty na fórmula de Rydberg dá
\frac{1}{\lambda_{\text{min}}}=R\frac{1}{n_f^2}\quad\Rightarrow\quad \lambda_{\text{min}}=\frac{1}{R}\,n_f^{2}.
A frequência correspondente é
\nu_{\text{max}}=\frac{c}{\lambda_{\text{min}}}=cR\frac{1}{n_f^{2}}.
(Observe: “limite inferior” em comprimento de onda corresponde ao limite superior em frequência.)
  1. Limite superior do comprimento de onda (maior \lambda, transição mais fraca da série): usar n_i=n_f+1 em Rydberg:
\frac{1}{\lambda_{\text{max}}}=R\!\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{(n_f+1)^{2}}\right).
A frequência correspondente é
\nu_{\text{min}}=\frac{c}{\lambda_{\text{max}}}=cR\!\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{(n_f+1)^{2}}\right).

Passo 4

Cálculo geral de constantes auxiliares numéricas que vou usar frequentemente:
\frac{1}{R} = \frac{1}{1{,}0973731568508\times10^{7}}\\ \mathrm{m} = 9{,}11267319\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.
Também é útil o produto cR:
cR = (2{,}99792458\times10^{8})\,(1{,}0973731568508\times10^{7}) = 3{,}28984196\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.
Esses dois números vão acelerar os cálculos de \lambda e \nu.

Passo 5

Série de Lyman ( n_f=1). Vou calcular os dois limites com contas explícitas.
a) Limite inferior (série limite, n_i\to\infty, menor \lambda):
\lambda_{\text{min}}=\frac{1}{R}n_f^{2}=\frac{1}{R}\cdot 1^{2}=\frac{1}{R}=9{,}11267319\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.
Em nanômetros:
\lambda_{\text{min}}=9{,}11267319\times10^{-8}\\ \mathrm{m}=91{,}1267319\\ \mathrm{nm}.
Frequência correspondente:
\nu_{\text{max}}=cR\frac{1}{n_f^{2}}=cR\cdot1=3{,}28984196\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.
b) Limite superior (transição n_i=2\to n_f=1, maior \lambda):
\frac{1}{\lambda_{\text{max}}}=R\!\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)=R\cdot\frac{3}{4}\quad\Rightarrow\quad \lambda_{\text{max}}=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{R}.
Numérico:
\lambda_{\text{max}}=\frac{4}{3}\cdot 9{,}11267319\times10^{-8}=1{,}21556309\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=121{,}556309\\ \mathrm{nm}.
Frequência:
\nu_{\text{min}}=\frac{3}{4}cR=0{,}75\cdot 3{,}28984196\times10^{15}=2{,}46738147\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Série de Balmer ( n_f=2). Cálculos explícitos.
a) Limite inferior (série limite, n_i\to\infty):
\lambda_{\text{min}}=\frac{1}{R}n_f^{2}=\frac{1}{R}\cdot 2^{2}=4\cdot\frac{1}{R}.
Numérico:
\lambda_{\text{min}}=4\cdot 9{,}11267319\times10^{-8}=3{,}645069276\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=364{,}5069276\\ \mathrm{nm}.
Frequência:
\nu_{\text{max}}=cR\frac{1}{n_f^{2}}=cR\cdot\frac{1}{4}=0{,}25\cdot 3{,}28984196\times10^{15}=8{,}22460490\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
b) Limite superior (transição n_i=3\to n_f=2):
\frac{1}{\lambda_{\text{max}}}=R\!\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right)=R\cdot\frac{5}{36}\quad\Rightarrow\quad \lambda_{\text{max}}=\frac{36}{5}\cdot\frac{1}{R}.
Numérico:
\lambda_{\text{max}}=\frac{36}{5}\cdot 9{,}11267319\times10^{-8}=6{,}561124, (6636)\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=656{,}11246636\\ \mathrm{nm}.
Frequência:
\nu_{\text{min}}=cR\cdot\frac{5}{36}= \frac{5}{36}\cdot 3{,}28984196\times10^{15}=4{,}56922439\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 7

Série de Paschen ( n_f=3). Cálculos explícitos.
a) Limite inferior (série limite, n_i\to\infty):
\lambda_{\text{min}}=\frac{1}{R}n_f^{2}=\frac{1}{R}\cdot 3^{2}=9\cdot\frac{1}{R}.
Numérico:
\lambda_{\text{min}}=9\cdot 9{,}11267319\times10^{-8}=8{,}201405871\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=820{,}1405871\\ \mathrm{nm}.
Frequência:
\nu_{\text{max}}=cR\frac{1}{n_f^{2}}=cR\cdot\frac{1}{9}=\frac{1}{9}\cdot 3{,}28984196\times10^{15}=3{,}65537996\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
b) Limite superior (transição n_i=4\to n_f=3):
\frac{1}{\lambda_{\text{max}}}=R\!\left(\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{4^{2}}\right)=R\cdot\frac{7}{144}\quad\Rightarrow\quad \lambda_{\text{max}}=\frac{144}{7}\cdot\frac{1}{R}.
Numérico:
\lambda_{\text{max}}=\frac{144}{7}\cdot 9{,}11267319\times10^{-8}=1{,}874595603\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=1874{,}595603\\ \mathrm{nm}.
Frequência:
\nu_{\text{min}}=cR\cdot\frac{7}{144}=\frac{7}{144}\cdot 3{,}28984196\times10^{15}=1{,}59824632\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 8

Resumo numérico (valores arredondados com precisão prática para uso em prova):
  • Lyman: \lambda_{\text{min}}\approx 9{,}1127\times10^{-8}\\ \mathrm{m}=91{,}13\\ \mathrm{nm}, \nu_{\text{max}}\approx 3{,}2898\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.
  • Lyman: \lambda_{\text{max}}\approx 1{,}21556\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=121{,}56\\ \mathrm{nm}, \nu_{\text{min}}\approx 2{,}4674\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.
  • Balmer: \lambda_{\text{min}}\approx 3{,}64507\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=364{,}51\\ \mathrm{nm}, \nu_{\text{max}}\approx 8{,}2246\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
  • Balmer: \lambda_{\text{max}}\approx 6{,}56112\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=656{,}11\\ \mathrm{nm}, \nu_{\text{min}}\approx 4{,}5692\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
  • Paschen: \lambda_{\text{min}}\approx 8{,}20141\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=820{,}14\\ \mathrm{nm}, \nu_{\text{max}}\approx 3{,}6554\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
  • Paschen: \lambda_{\text{max}}\approx 1{,}87460\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=1874{,}60\\ \mathrm{nm}, \nu_{\text{min}}\approx 1{,}5982\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

Lyman ( n_f=1 ) — Limite superior (maior \lambda, 2\to1): \lambda=1{,}21556309\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=121{,}556309\\ \mathrm{nm}, \nu=2{,}46738147\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}
Lyman ( n_f=1 ) — Limite inferior (série limite, \infty\to1): \lambda=9{,}11267319\times10^{-8}\\ \mathrm{m}=91{,}1267319\\ \mathrm{nm}, \nu=3{,}28984196\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}
Balmer ( n_f=2 ) — Limite superior (maior \lambda, 3\to2): \lambda=6{,}5611246636\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=656{,}11246636\\ \mathrm{nm}, \nu=4{,}56922439\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}
Balmer ( n_f=2 ) — Limite inferior (série limite, \infty\to2): \lambda=3{,}645069276\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=364{,}5069276\\ \mathrm{nm}, \nu=8{,}22460490\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}
Paschen ( n_f=3 ) — Limite superior (maior \lambda, 4\to3): \lambda=1{,}874595603\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=1874{,}595603\\ \mathrm{nm}, \nu=1{,}59824632\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}
Paschen ( n_f=3 ) — Limite inferior (série limite, \infty\to3): \lambda=8{,}201405871\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=820{,}1405871\\ \mathrm{nm}, \nu=3{,}65537996\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}

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