Calcule o comprimento de onda e a frequência dos limites inferiores e superiores das séries de Lyman, Balmer e Paschen do espectro de emissão do átomo de hidrogênio.
Passo 1
O que o problema pede: Calcular o comprimento de onda e a frequência dos limites inferiores e superiores das séries de emissão de hidrogênio conhecidas como Lyman, Balmer e Paschen.
Informações relevantes fornecidas ou que usaremos:
- Vamos tratar cada série como a sequência de transições eletrônicas para um nível inicial fixo
: Lyman tem , Balmer tem e Paschen tem . - Definição operacional dos limites (importante para não confundir):
- Limite inferior (no sentido de comprimento de onda) = menor comprimento de onda da série = transição de
com (série limite, maior energia possível dentro da série). - Limite superior (no sentido de comprimento de onda) = maior comprimento de onda da série = transição imediata acima de
, isto é (menor energia de emissão na série).
- Limite inferior (no sentido de comprimento de onda) = menor comprimento de onda da série = transição de
- Constantes físicas que usarei (valores usualmente adotados):
- Resultado pedido para cada limite: comprimento de onda
(em metros e em nanômetros) e frequência (em hertz).
Passo 2
Fórmula que conecta as transições do átomo de hidrogênio (fórmula de Rydberg) e explicação do que cada símbolo significa.
A fórmula que dá o número de ondas (recíproco do comprimento de onda) de uma transição entre níveis
(inicial, maior) e
(final, menor) é:
Onde:
-
é o comprimento de onda da radiação emitida (em metros), -
é a constante de Rydberg para o hidrogênio (em ), -
é o número quântico do nível final (fixo para a série), -
é o número quântico do nível inicial (variando, com ).
A frequência
está relacionada ao comprimento de onda por:
onde
é a velocidade da luz.
Passo 3
Expressões específicas para os limites que precisamos (explico por que).
- Limite inferior do comprimento de onda (menor
, série limite): tomar na fórmula de Rydberg dá
A frequência correspondente é
(Observe: “limite inferior” em comprimento de onda corresponde ao limite superior em frequência.)
- Limite superior do comprimento de onda (maior
, transição mais fraca da série): usar em Rydberg:
A frequência correspondente é
Passo 4
Cálculo geral de constantes auxiliares numéricas que vou usar frequentemente:
Também é útil o produto
:
Esses dois números vão acelerar os cálculos de
e
.
Passo 5
Série de Lyman (
). Vou calcular os dois limites com contas explícitas.
a) Limite inferior (série limite,
, menor
):
Em nanômetros:
Frequência correspondente:
b) Limite superior (transição
, maior
):
Numérico:
Frequência:
Passo 6
Série de Balmer (
). Cálculos explícitos.
a) Limite inferior (série limite,
):
Numérico:
Frequência:
b) Limite superior (transição
):
Numérico:
Frequência:
Passo 7
Série de Paschen (
). Cálculos explícitos.
a) Limite inferior (série limite,
):
Numérico:
Frequência:
b) Limite superior (transição
):
Numérico:
Frequência:
Passo 8
Resumo numérico (valores arredondados com precisão prática para uso em prova):
- Lyman:
, . - Lyman:
, . - Balmer:
, . - Balmer:
, . - Paschen:
, . - Paschen:
, .
Resposta
Lyman (
) — Limite superior (maior
,
):
,
Lyman ( ) — Limite inferior (série limite,
):
,
Lyman (
Balmer (
) — Limite superior (maior
,
):
,
Balmer ( ) — Limite inferior (série limite,
):
,
Balmer (
Paschen (
) — Limite superior (maior
,
):
,
Paschen ( ) — Limite inferior (série limite,
):
,
Paschen (