Um elétron inicialmente em repouso é acelerado por por uma ddp de 20,0 \mathrm{kV}. (a) Encontre a verdadeira velocidade relativística do elétron. (b) Encontre a velocidade que a física clássica iria prever para ele. Qual é o erro desse cálculo?

Passo 1

O enunciado diz: um elétron, inicialmente em repouso, é acelerado por uma ddp de 20{,}0\\ \mathrm{kV}. As perguntas são:
(a) qual é a velocidade real (relativística) final do elétron?
(b) qual velocidade a física clássica (não relativística) preveria e qual o erro desse cálculo?
Dados fornecidos (vou listar e numerar para não nos perder):
  1. A diferença de potencial é V=20{,}0\\ \mathrm{kV}=2{,}00\times10^{4}\\ \mathrm{V}.
  2. O elétron parte do repouso, então toda a energia adquirida vem da ddp.
  3. Constantes úteis que usarei (valores padrão):
    • carga do elétron: e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C},
    • massa do elétron: m=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},
    • velocidade da luz: c=2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
    • energia de repouso do elétron: m c^{2}\approx8{,}18710578\times10^{-14}\\ \mathrm{J} (ou \approx511\\ \mathrm{keV}).
A partir daqui vamos resolver passo a passo: primeiro vamos converter a energia fornecida pela ddp em energia cinética e depois aplicar as fórmulas clássica e relativística para obter as velocidades.

Passo 2

Energia dada pela ddp — conceito e cálculo. Quando uma partícula com carga q é acelerada por uma diferença de potencial V, ela ganha energia elétrica igual a qV. Para o elétron essa energia é a energia cinética adquirida:
K = eV,
onde K é a energia cinética (em joules), e é a carga do elétron e V a ddp. Vamos calcular K em joules:
K = (1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C})\times(2{,}00\times10^{4}\\ \mathrm{V}) =3{,}204353268\times10^{-15}\\ \mathrm{J}.
Também é útil lembrar essa energia em elétron-volts: K=20{,}0\\ \mathrm{keV} (porque 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}).
Explicação didática curta: a razão de usar K=eV é que mover uma carga e através de uma diferença de potencial V dá trabalho eV, que vira energia cinética se começamos do repouso e desconsideramos perdas.

Passo 3

Velocidade relativística — fórmula e derivação. Na relatividade a relação entre energia cinética e velocidade é dada por
K = (\gamma-1) m c^{2},
onde \gamma (fator de Lorentz) é
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}}.
Aqui: m é a massa de repouso da partícula, c é a velocidade da luz e v é a velocidade que queremos achar. Reorganizando para \gamma obtemos
\gamma = 1 + \frac{K}{m c^{2}}.
Depois de obter \gamma usamos a relação inversa para achar v:
\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}} \quad\Rightarrow\quad v = c\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}}.
Agora aplicamos numericamente. Primeiro calculemos \gamma:
\gamma = 1 + \frac{3{,}204353268\times10^{-15}\\ \mathrm{J}}{8{,}18710578\times10^{-14}\\ \mathrm{J}} \approx 1{,}0391373.
Em seguida
\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{(1{,}0391373)^{2}}}\approx0{,}27189,
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v \approx 0{,}27189\,c \approx 0{,}27189\times(2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}) \approx 8{,}15\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
Didática: a ideia é que parte da energia vai para “aumentar a massa efetiva” (no sentido de \gamma) e isso limita a velocidade para abaixo de c. Usamos a forma K=(\gamma-1)mc^{2} porque é a maneira direta de relacionar energia adicionada com o fator \gamma.

Passo 4

Velocidade clássica (não relativística) — fórmula e cálculo. Na física clássica a energia cinética é
K_{\text{cl}}=\tfrac{1}{2}mv^{2}.
Igualando K_{\text{cl}}=eV e isolando v temos
v_{\text{cl}}=\sqrt{\frac{2eV}{m}}.
Agora substituímos numericamente:
v_{\text{cl}}=\sqrt{\frac{2\times(1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C})\times(2{,}00\times10^{4}\\ \mathrm{V})}{9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}}} \approx 8{,}39\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
Em fração de c: v_{\text{cl}}\approx0{,}2799\,c.
Didática: essa fórmula vem diretamente da conservação da energia no regime clássico. Ela é válida quando v\ll c. Quando v começa a ser uma fração significativa de c, a expressão clássica superestima a velocidade porque não leva em conta o aumento efetivo da energia de repouso relativística.

Passo 5

Cálculo do erro do método clássico. Vou calcular o erro absoluto e o erro relativo (percentual), definindo erro relativo como (v_{\text{cl}}-v_{\text{rel}})/v_{\text{rel}}\times100\%.
Usando os valores obtidos:
v_{\text{rel}}\approx8{,}15\times10^{7}\\ \mathrm{m/s},\qquad v_{\text{cl}}\approx8{,}39\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
Erro absoluto:
\Delta v = v_{\text{cl}}-v_{\text{rel}}\approx (8{,}39-8{,}15)\times10^{7}\\ \mathrm{m/s} \approx 2{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
Erro percentual:
\frac{\Delta v}{v_{\text{rel}}}\times100\%\approx\frac{2{,}37\times10^{6}}{8{,}15\times10^{7}}\times100\%\approx2{,}9\%.
Interpretação curta e motivadora: o cálculo clássico superestima a velocidade em cerca de 3\% para 20\\ \mathrm{keV}. Não é um erro gigante, mas já não é desprezível — por isso em problemas com energias comparáveis a alguns por cento da energia de repouso (aqui K/(mc^{2})\approx0{,}039, ou 3{,}9\%) é melhor usar a formulação relativística.

Resposta

(a) v \approx 8{,}15\times10^{7}\\ \mathrm{m/s} \approx0{,}2719\,c\n
(b) v_{\text{cl}} \approx 8{,}39\times10^{7}\\ \mathrm{m/s} ( \approx0{,}2799\,c); erro \approx2{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{m/s} ( \approx2{,}9\%).

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