Um elétron inicialmente em repouso é acelerado por por uma ddp de
. (a) Encontre a verdadeira velocidade relativística do elétron. (b) Encontre a velocidade que a física clássica iria prever para ele. Qual é o erro desse cálculo?
Passo 1
O enunciado diz: um elétron, inicialmente em repouso, é acelerado por uma ddp de
. As perguntas são:
(a) qual é a velocidade real (relativística) final do elétron?
(b) qual velocidade a física clássica (não relativística) preveria e qual o erro desse cálculo?
(a) qual é a velocidade real (relativística) final do elétron?
(b) qual velocidade a física clássica (não relativística) preveria e qual o erro desse cálculo?
Dados fornecidos (vou listar e numerar para não nos perder):
- A diferença de potencial é
. - O elétron parte do repouso, então toda a energia adquirida vem da ddp.
- Constantes úteis que usarei (valores padrão):
- carga do elétron:
, - massa do elétron:
, - velocidade da luz:
, - energia de repouso do elétron:
(ou ).
- carga do elétron:
A partir daqui vamos resolver passo a passo: primeiro vamos converter a energia fornecida pela ddp em energia cinética e depois aplicar as fórmulas clássica e relativística para obter as velocidades.
Passo 2
Energia dada pela ddp — conceito e cálculo. Quando uma partícula com carga
é acelerada por uma diferença de potencial
, ela ganha energia elétrica igual a
. Para o elétron essa energia é a energia cinética adquirida:
onde
é a energia cinética (em joules),
é a carga do elétron e
a ddp. Vamos calcular
em joules:
Também é útil lembrar essa energia em elétron-volts:
(porque
).
Explicação didática curta: a razão de usar
é que mover uma carga
através de uma diferença de potencial
dá trabalho
, que vira energia cinética se começamos do repouso e desconsideramos perdas.
Passo 3
Velocidade relativística — fórmula e derivação. Na relatividade a relação entre energia cinética e velocidade é dada por
onde
(fator de Lorentz) é
Aqui:
é a massa de repouso da partícula,
é a velocidade da luz e
é a velocidade que queremos achar. Reorganizando para
obtemos
Depois de obter
usamos a relação inversa para achar
:
Agora aplicamos numericamente. Primeiro calculemos
:
Em seguida
logo
Didática: a ideia é que parte da energia vai para “aumentar a massa efetiva” (no sentido de
) e isso limita a velocidade para abaixo de
. Usamos a forma
porque é a maneira direta de relacionar energia adicionada com o fator
.
Passo 4
Velocidade clássica (não relativística) — fórmula e cálculo. Na física clássica a energia cinética é
Igualando
e isolando
temos
Agora substituímos numericamente:
Em fração de
:
.
Didática: essa fórmula vem diretamente da conservação da energia no regime clássico. Ela é válida quando
. Quando
começa a ser uma fração significativa de
, a expressão clássica superestima a velocidade porque não leva em conta o aumento efetivo da energia de repouso relativística.
Passo 5
Cálculo do erro do método clássico. Vou calcular o erro absoluto e o erro relativo (percentual), definindo erro relativo como
.
Usando os valores obtidos:
Erro absoluto:
Erro percentual:
Interpretação curta e motivadora: o cálculo clássico superestima a velocidade em cerca de
para
. Não é um erro gigante, mas já não é desprezível — por isso em problemas com energias comparáveis a alguns por cento da energia de repouso (aqui
, ou
) é melhor usar a formulação relativística.
Resposta
(a)
\n
(b) (
); erro
(
).
(b)