1. No ponto x=b existe uma partícula com carga q e no ponto x=-b existe uma partícula com carga 2 q. Determine um ponto sobre o eixo X para o qual seja nula a força resultante sobre uma terceira partícula com carga Q. Resp. x \cong 0,17 b

Passo 1

O enunciado (peguei os dados da imagem) dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Há uma carga 2q localizada em x=-b.
  • Há uma carga q localizada em x=+b.
  • Colocamos uma terceira carga Q em algum ponto x sobre o eixo X.
    O que se pede: determinar o valor de x sobre o eixo X tal que a força resultante sobre a carga Q seja nula.

Passo 2

Vamos lembrar a lei de Coulomb (a fórmula que dá a intensidade da força elétrica entre duas cargas puntuais):
F = k\,\frac{|q_1 q_2|}{r^2},
onde:
  • F é a magnitude da força entre as duas cargas,
  • k é a constante eletrostática (não precisamos do seu valor numérico porque ela vai cancelar),
  • q_1 e q_2 são as cargas envolvidas,
  • r é a distância entre as cargas.
    Observações importantes para usar a fórmula na resolução:
  • A lei dá a magnitude; a direção vem da natureza atrativa/repulsiva (mesmo sinal → repulsão; sinais opostos → atração).
  • Para que a força resultante sobre Q seja nula, as forças exercidas pelas duas cargas sobre Q devem ter a mesma magnitude e direções opostas.

Passo 3

Analisamos em que região do eixo X pode haver equilíbrio (pontos candidatos): à esquerda de -b, entre -b e b, ou à direita de b.
  • Se x>b (à direita de ambas as cargas) e as cargas em \pm b são do mesmo sinal (a figura mostra 2q e q sem sinal, normalmente positivo), as duas forças sobre Q apontariam para a esquerda (ambas repelem ou ambas atraem na mesma direção), logo não se anulam. Assim, fora à direita não há equilíbrio nesse caso.
  • Se x<-b (à esquerda de ambas), pelas mesmas razões as forças têm a mesma direção (para a direita) e não se anulam.
  • Se -b<x<b (entre as cargas), a força de 2q tende a empurrar/atrair Q em sentido oposto à força de q; ou seja, as duas forças podem ser opostas ali, então é nessa região que podemos ter equilíbrio. Concluímos que o ponto de interesse está entre -b e b.

Passo 4

Agora escrevemos as magnitudes das forças sobre Q quando x está entre -b e b.
  • Distância de Q até a carga 2q (em x=-b) é \,x-(-b)=x+b.
  • Distância de Q até a carga q (em x=+b) é \,b-x.
    As magnitudes das forças são:
F_{2q} = k\,\frac{|2q\,Q|}{(x+b)^2}, \qquad F_{q} = k\,\frac{|q\,Q|}{(b-x)^2}.
Para equilíbrio precisamos de F_{2q}=F_{q}. Cancelamos k e |qQ| (a magnitude de Q e q não importa, desde que não sejam zero), obtendo:
\frac{2}{(x+b)^2}=\frac{1}{(b-x)^2}.

Passo 5

Resolvemos a equação
\frac{2}{(x+b)^2}=\frac{1}{(b-x)^2}.
Passo a passo:
  1. Tomamos raiz positiva dos dois lados (as distâncias são positivas, então usamos a raiz positiva):
\frac{x+b}{\,b-x\,}=\sqrt{2}.
  1. Multiplicamos ambos os lados por b-x:
x+b=\sqrt{2}\,(b-x).
  1. Expandimos o lado direito:
x+b=\sqrt{2}\,b-\sqrt{2}\,x.
  1. Agrupamos os termos com x num lado:
x+\sqrt{2}\,x=\sqrt{2}\,b-b.
  1. Fatoramos x no lado esquerdo:
x(1+\sqrt{2})=b(\sqrt{2}-1).
  1. Isolamos x:
x=b\,\frac{\sqrt{2}-1}{1+\sqrt{2}}.
  1. Podemos simplificar esse quociente multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2}-1:
x=b\,\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\frac{\sqrt{2}-1}{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}=b\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)^2.
  1. Calculamos (\sqrt{2}-1)^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}. Portanto
x = b\,(3-2\sqrt{2}).

Passo 6

Vamos dar a aproximação numérica para facilitar a leitura na prova:
\sqrt{2}\approx 1{,}41421356\quad\Rightarrow\quad 3-2\sqrt{2}\approx 0{,}171572875.
Logo
x \approx 0{,}1716\,b \approx 0{,}17\,b,
o que coincide com a resposta esperada.

Resposta

x = b\,(3-2\sqrt{2}) \approx 0{,}17\,b

Exercícios relacionados