- No ponto
existe uma partícula com carga
e no ponto
existe uma partícula com carga
. Determine um ponto sobre o eixo
para o qual seja nula a força resultante sobre uma terceira partícula com carga
. Resp.
Passo 1
O enunciado (peguei os dados da imagem) dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Há uma carga
localizada em . - Há uma carga
localizada em . - Colocamos uma terceira carga
em algum ponto sobre o eixo .
O que se pede: determinar o valor desobre o eixo tal que a força resultante sobre a carga seja nula.
Passo 2
Vamos lembrar a lei de Coulomb (a fórmula que dá a intensidade da força elétrica entre duas cargas puntuais):
onde:
-
é a magnitude da força entre as duas cargas, -
é a constante eletrostática (não precisamos do seu valor numérico porque ela vai cancelar), -
e são as cargas envolvidas, -
é a distância entre as cargas.
Observações importantes para usar a fórmula na resolução: - A lei dá a magnitude; a direção vem da natureza atrativa/repulsiva (mesmo sinal → repulsão; sinais opostos → atração).
- Para que a força resultante sobre
seja nula, as forças exercidas pelas duas cargas sobre devem ter a mesma magnitude e direções opostas.
Passo 3
Analisamos em que região do eixo
pode haver equilíbrio (pontos candidatos): à esquerda de
, entre
e
, ou à direita de
.
- Se
(à direita de ambas as cargas) e as cargas em são do mesmo sinal (a figura mostra e sem sinal, normalmente positivo), as duas forças sobre apontariam para a esquerda (ambas repelem ou ambas atraem na mesma direção), logo não se anulam. Assim, fora à direita não há equilíbrio nesse caso. - Se
(à esquerda de ambas), pelas mesmas razões as forças têm a mesma direção (para a direita) e não se anulam. - Se
(entre as cargas), a força de tende a empurrar/atrair em sentido oposto à força de ; ou seja, as duas forças podem ser opostas ali, então é nessa região que podemos ter equilíbrio. Concluímos que o ponto de interesse está entre e .
Passo 4
Agora escrevemos as magnitudes das forças sobre
quando
está entre
e
.
- Distância de
até a carga (em ) é . - Distância de
até a carga (em ) é .
As magnitudes das forças são:
Para equilíbrio precisamos de
. Cancelamos
e
(a magnitude de
e
não importa, desde que não sejam zero), obtendo:
Passo 5
Resolvemos a equação
Passo a passo:
- Tomamos raiz positiva dos dois lados (as distâncias são positivas, então usamos a raiz positiva):
- Multiplicamos ambos os lados por
:
- Expandimos o lado direito:
- Agrupamos os termos com
num lado:
- Fatoramos
no lado esquerdo:
- Isolamos
:
- Podemos simplificar esse quociente multiplicando numerador e denominador por
:
- Calculamos
. Portanto
Passo 6
Vamos dar a aproximação numérica para facilitar a leitura na prova:
Logo
o que coincide com a resposta esperada.