Para cada vetor vecv, obtenha e represente graficamente:
os vetores paralelos a vecv;
os vetores perpendiculares a vecv;
todos os vetores unitários e paralelos a vecv; e
todos os vetores unitários e perpendiculares a vecv.
$vec{v}=(-1,4)

Passo 1

O enunciado dá o vetor v=(-1,4) e pede quatro coisas: (i) todos os vetores paralelos a v, (ii) todos os vetores perpendiculares a v, (iii) todos os vetores unitários paralelos a v e (iv) todos os vetores unitários perpendiculares a v. Vamos usar a ideia de combinação linear e o produto escalar para encontrar cada conjunto, e depois indicar como representá-los geometricamente.

Passo 2

Para achar os vetores paralelos a v basta notar que qualquer múltiplo escalar de v tem a mesma direção. Logo o conjunto é
;t,v : tinR =;t(-1,4) : tinR
Geometricamente isso é a reta que passa pela origem e tem direção dada por v.

Passo 3

Para achar os vetores w=(a,b) perpendiculares a v impomos vcdotw=0, ou seja
(-1),a + 4,b = 0 Longrightarrow 4b = a Longrightarrow b = a4
Portanto
(a,b): -a + 4b = 0 =;(a,tfrac a4): ainR,
que é outra reta pela origem, perpendicular à reta do passo anterior.

Passo 4

O comprimento de v é
|v| =raiz(-1)^2 + 4^2 =raiz1+16 =raiz17
Assim os vetores unitários paralelos a v são exatamente
pm v|v| =pml(-tfrac1raiz17,,tfrac4raiz17r)
Geom. são dois pontos opostos na circunferência unitaria, ao longo da reta de direção v.

Passo 5

Para achar vetores unitários perpendiculares, pegamos qualquer vetor perpendicular, por exemplo (4,1), pois
(-1)cdot 4 + 4cdot1 = 0,
e normalizamos:
|(4,1)|=raiz16+1=raiz17,
logo os unitários perpendiculares são
pm(4,1)raiz17 =pml(tfrac4raiz17,,tfrac1raiz17r)
São dois pontos na circunferência unitária, sobre a reta perpendicular à de v.

Resposta

Vetores paralelos a v: ,t(-1,4):tinR
Vetores perpendiculares a v: (a,b):-a+4b=0=(a,tfrac a4):ainR
Vetores unitários paralelos a v: pm(-tfrac1raiz17,tfrac4raiz17)
Vetores unitários perpendiculares a v: pm(tfrac4raiz17,tfrac1raiz17)

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