Considere o plano pi determinado pelos pontos
P1=(12, 0,0), P2=(0, 12, 0), e P3=(0,-12, 12)
(a) encontre uma equação paramétrica desse plano;
(b) calcule as coordenadas do ponto Q, simétrico ao ponto P=(0,0,0) em relação ao plano pi.

Passo 1

O enunciado dá três pontos
P1=l(tfrac12,0,0r), P2=l(0,tfrac12,0r), P3=l(0,-tfrac12,tfrac12r)
e pede
– (a) uma forma paramétrica do plano π que os contém,
– (b) o ponto Q simétrico a P=(0,0,0) em relação a π.
Para (a) vamos escolher um ponto e dois vetores diretores; para (b) precisamos da equação implícita do plano e usar a fórmula de reflexão.

Passo 2

Tomamos
Assim, uma equação paramétrica de π é
com parâmetros (s,t\in\mathbb{R}].

Passo 3

Para achar a equação implícita, calculamos o vetor normal
n = v1timesv2 = l(tfrac14,tfrac14,tfrac12r) sim (1,1,2)
Logo a forma implícita é
1cdot x + 1cdot y + 2cdot z - tfrac12 = 0,
ou seja
x + y + 2z = tfrac12

Passo 4

Para refletir P=(0,0,0) usamos a fórmula
Q = P - 2l(a x0 + b y0 + c z0 + dr)a^2 + b^2 + c^2,(a,b,c),
onde a=1, b=1, c=2, d=-tfrac12 e (x0,y0,z0)=(0,0,0). Calculamos
a x0 + b y0 + c z0 + d = -tfrac12, a^2+b^2+c^2=6,
Q = (0,0,0) - 2(-tfrac12)6,(1,1,2) = (0,0,0) + tfrac16,(1,1,2) = l(tfrac16,tfrac16,tfrac13r)

Resposta

(a)
x = tfrac12 - tfrac12,s - tfrac12,t, y = tfrac12,s - tfrac12,t, z = tfrac12,t, s,tinR
(b)
Q = l(tfrac16,tfrac16,tfrac13r)

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