Para cada vetor vecv, obtenha e represente graficamente:
os vetores paralelos a vecv;
os vetores perpendiculares a vecv;
todos os vetores unitários e paralelos a vecv; e
todos os vetores unitários e perpendiculares a vecv.
$vec{v}=(0,-2)

Passo 1

O enunciado dá o vetor v=(0,-2) no plano e pede quatro coisas: (i) a descrição algébrica e gráfica dos vetores paralelos a v; (ii) a descrição algébrica e gráfica dos vetores perpendiculares a v; (iii) todos os vetores unitários paralelos a v e sua representação; (iv) todos os vetores unitários perpendiculares a v e sua representação. Para isso vamos usar definição de paralelismo, condição de perpendicularidade via produto escalar e norma de um vetor.

Passo 2

Um vetor w é paralelo a v se existir escalar tinR tal que
w=t,v Longrightarrow w=(0,-2t)
Graficamente isso é a reta vertical passando pela origem (eixo y), com setas para cima ou para baixo conforme t>0 ou t<0.

Passo 3

Um vetor w=(x,y) é perpendicular a v=(0,-2) se o produto escalar for zero:
wcdotv=0;Longrightarrow;0cdot x+(-2),y=0;Longrightarrow;y=0
Logo todos os perpendiculares têm a forma w=(x,0). Graficamente é a reta horizontal passando pela origem (eixo x).

Passo 4

Para achar os vetores unitários paralelos, impomos |w|=1 em w=tv. Como |v|=2, temos
|w|=|t|,|v|=|t|cdot2=1 ;Longrightarrow; t=pm12
Assim os unitários paralelos são
u1=12(0,-2)=(0,-1)
e
u2=-12(0,-2)=(0,1).
No plano são os pontos (0,1) e (0,-1) sobre o círculo de raio 1.

Passo 5

Para vetores unitários perpendiculares, partimos de w=(x,0) e impomos |w|=|x|=1. Logo
u3=(1,0)
e
u4=(-1,0).
Graficamente são os pontos (1,0) e (-1,0) no círculo unitário.

Resposta

(i) Vetores paralelos a v: (0,-2t)mid tinR.
(ii) Vetores perpendiculares a v: (x,0)mid xinR.
(iii) Vetores unitários paralelos: (0,1) e (0,-1).
(iv) Vetores unitários perpendiculares: (1,0) e (-1,0).

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