Para cada vetor
, obtenha e represente graficamente:
os vetores paralelos a
;
os vetores perpendiculares a
;
todos os vetores unitários e paralelos a
; e
todos os vetores unitários e perpendiculares a
.
$vec{v}=(3,-1)
os vetores paralelos a
os vetores perpendiculares a
todos os vetores unitários e paralelos a
todos os vetores unitários e perpendiculares a
$vec{v}=(3,-1)
Passo 1
O enunciado pede para, dado o vetor
em
, determinar:
- O conjunto de vetores paralelos a
. - O conjunto de vetores perpendiculares a
. - Os vetores unitários paralelos a
. - Os vetores unitários perpendiculares a
.
Para isso vamos usar conceitos de produto escalar, subespaços gerados por um vetor e normalização de vetor.
Passo 2
Um vetor
é paralelo a
se, e somente se, existe
tal que
Portanto, o conjunto de vetores paralelos a
é
que geometricamente é a reta que passa pela origem com direção de inclinação
.
Passo 3
Um vetor
é perpendicular a
se, e somente se,
. Assim,
Logo, o conjunto de vetores perpendiculares a
é
que é a reta pela origem com inclinação
.
Passo 4
Para achar os vetores unitários paralelos a
, primeiro calculamos a norma de
:
Os vetores unitários paralelos são então
Passo 5
Para os vetores unitários perpendiculares, note que uma direção perpendicular a
é
(porque
) e
. Assim, os vetores unitários perpendiculares são
Resposta
- Vetores paralelos a
:
, reta de inclinação . - Vetores perpendiculares a
:
, reta de inclinação . - Vetores unitários e paralelos a
:
e . - Vetores unitários e perpendiculares a
:
e .
Representação gráfica:
- Desenhe os eixos
. - Trace a reta pela origem com inclinação
(paralela a ) e a reta com inclinação (perpendicular). - Desenhe o círculo unitário.
- Marque sobre cada reta os pontos correspondentes aos vetores unitários indicados acima.