Para cada vetor vecv, obtenha e represente graficamente:
os vetores paralelos a vecv;
os vetores perpendiculares a vecv;
todos os vetores unitários e paralelos a vecv; e
todos os vetores unitários e perpendiculares a vecv.
$vec{v}=(3,-1)

Passo 1

O enunciado pede para, dado o vetor vec v=(3,-1) em R^2, determinar:
  1. O conjunto de vetores paralelos a vec v.
  2. O conjunto de vetores perpendiculares a vec v.
  3. Os vetores unitários paralelos a vec v.
  4. Os vetores unitários perpendiculares a vec v.
    Para isso vamos usar conceitos de produto escalar, subespaços gerados por um vetor e normalização de vetor.

Passo 2

Um vetor vec w é paralelo a vec v se, e somente se, existe tin R tal que
vec w = t,vec v = t,(3,-1) = (3t,,-t)
Portanto, o conjunto de vetores paralelos a vec v é
(3t,-t)mid tin R,
que geometricamente é a reta que passa pela origem com direção de inclinação -tfrac13.

Passo 3

Um vetor vec w=(x,y) é perpendicular a vec v se, e somente se, vec vcdotvec w=0. Assim,
(3,-1)cdot(x,y)=3x - y = 0 Longrightarrow y = 3x
Logo, o conjunto de vetores perpendiculares a vec v é
(x,3x)mid xin R,
que é a reta pela origem com inclinação 3.

Passo 4

Para achar os vetores unitários paralelos a vec v, primeiro calculamos a norma de vec v:
|vec v| = raiz3^2 + (-1)^2 = raiz10
Os vetores unitários paralelos são então
vec v|vec v| = (3,-1)raiz10 e -vec v|vec v| = (-3,1)raiz10

Passo 5

Para os vetores unitários perpendiculares, note que uma direção perpendicular a vec v é (1,3) (porque (3,-1)cdot(1,3)=0) e |(1,3)|=raiz10. Assim, os vetores unitários perpendiculares são
(1,3)raiz10 e -(1,3)raiz10

Resposta

  1. Vetores paralelos a vec v:
    (3t,-t)mid tin R, reta de inclinação -tfrac13.
  2. Vetores perpendiculares a vec v:
    (x,3x)mid xin R, reta de inclinação 3.
  3. Vetores unitários e paralelos a vec v:
    (3,-1)raiz10 e (-3,1)raiz10.
  4. Vetores unitários e perpendiculares a vec v:
    (1,3)raiz10 e (-1,-3)raiz10.
Representação gráfica:
  • Desenhe os eixos x,y.
  • Trace a reta pela origem com inclinação -tfrac13 (paralela a vec v) e a reta com inclinação 3 (perpendicular).
  • Desenhe o círculo unitário.
  • Marque sobre cada reta os pontos correspondentes aos vetores unitários indicados acima.

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