QUESTÃO: Determine a função derivada das funções abaixo, e posteriormente, encontre, se existir, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto indicado.
f(x)=\sqrt{x^{2}-7}, \quad P=(3, \sqrt{2}).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a função derivada de f(x)=\sqrt{x^{2}-7}.
  • Encontrar, se existir, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P=(3,\sqrt{2}).
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função está definida por f(x)=\sqrt{x^{2}-7}.
  • O ponto indicado é P=(3,\sqrt{2}). Verifico se esse ponto pertence ao gráfico calculando f(3)=\sqrt{3^{2}-7}=\sqrt{9-7}=\sqrt{2}. Portanto o ponto pertence ao gráfico (ou seja, está correto).
  • Domínio da função (onde a raiz é real): \,x^{2}-7\ge 0\Rightarrow |x|\ge\sqrt{7}. Como 3>\sqrt{7}, o ponto x=3 está no domínio interior onde a função é bem definida.
  • Para existir a reta tangente com inclinação finita, a derivada f'(x) deve existir em x=3. Vou calcular a derivada e depois avaliar em x=3.

Passo 2

Lembrete das regras de derivação que vou usar (explicação didática):
  • Regra da potência: se g(x)=x^{n} com n constante, então g'(x)=n x^{n-1}. Aqui cada símbolo significa: x é a variável independente e n é o expoente.
  • Regra da cadeia (quando há função composta): se h(x)=\varphi(\psi(x)), então h'(x)=\varphi'(\psi(x))\cdot\psi'(x). Em palavras: deriva-se a função externa (avaliada na interna) e multiplica-se pela derivada da função interna.
  • Vou reescrever \sqrt{x^{2}-7} como (x^{2}-7)^{1/2} para aplicar a regra da potência combinada com a cadeia.

Passo 3

Derivação passo a passo:
  • Escrevo \,f(x)=(x^{2}-7)^{1/2}.
  • Aplico a regra da cadeia: a função externa é u^{1/2} com derivada \tfrac{1}{2}u^{-1/2} (em relação a u); a função interna é u(x)=x^{2}-7 com derivada u'(x)=2x.
  • Portanto,
f'(x)=\frac{1}{2}(x^{2}-7)^{-1/2}\cdot 2x.
  • Simplificando os fatores \tfrac{1}{2} e 2,
f'(x)=x\,(x^{2}-7)^{-1/2}.
  • Reescrevendo em forma de raiz,
f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-7}}.
  • Observação sobre domínio da derivada: essa expressão só faz sentido quando o denominador é não nulo e a raiz é definida; logo a fórmula vale para |x|>\sqrt{7}. Nos pontos x=\pm\sqrt{7} a derivada não é finita (denominador zero), então não existe derivada finita ali.

Passo 4

Avaliação da derivada em x=3 (para obter a inclinação da tangente):
  • Substituo x=3 na fórmula \,f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-7}}\,:
m=f'(3)=\frac{3}{\sqrt{3^{2}-7}}=\frac{3}{\sqrt{9-7}}=\frac{3}{\sqrt{2}}.
  • Se preferir uma forma sem radical no denominador, racionalizo:
\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.
  • Assim a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em P é m=\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Equação da reta tangente usando a forma ponto-declive:
  • Fórmula ponto-declive: se a reta tangente em (x_{0},y_{0}) tem inclinação m, então
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
  • Aqui x_{0}=3, y_{0}=\sqrt{2} e m=\dfrac{3}{\sqrt{2}}. Substituindo:
y-\sqrt{2}=\frac{3}{\sqrt{2}}(x-3).
  • Posso deixar assim ou colocar em forma reduzida y=mx+b. Desenvolvendo:
y=\frac{3}{\sqrt{2}}x-\frac{9}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}.
  • Combino os termos constantes escrevendo \sqrt{2}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}, então
-\frac{9}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}=-\frac{9}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}=-\frac{7}{\sqrt{2}}.
  • Assim outra forma equivalente é
y=\frac{3}{\sqrt{2}}x-\frac{7}{\sqrt{2}}.
  • Racionalizando os coeficientes (opcional):
y=\frac{3\sqrt{2}}{2}\,x-\frac{7\sqrt{2}}{2}.
  • Todas as formas acima são a mesma reta tangente; portanto a reta existe e está bem definida em P.

Resposta

f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-7}}
Equação da reta tangente em P:(3,\sqrt{2}): y-\sqrt{2}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}(x-3) (equivalente a y=\dfrac{3}{\sqrt{2}}x-\dfrac{7}{\sqrt{2}} ou y=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}x-\dfrac{7\sqrt{2}}{2}).

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