QUESTÃO: Determine a função derivada das funções abaixo, e posteriormente, encontre, se existir, a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto indicado.
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar a função derivada de
. - Encontrar, se existir, a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto .
Informações dadas e observações iniciais:
- A função está definida por
. - O ponto indicado é
. Verifico se esse ponto pertence ao gráfico calculando . Portanto o ponto pertence ao gráfico (ou seja, está correto). - Domínio da função (onde a raiz é real):
. Como , o ponto está no domínio interior onde a função é bem definida. - Para existir a reta tangente com inclinação finita, a derivada
deve existir em . Vou calcular a derivada e depois avaliar em .
Passo 2
Lembrete das regras de derivação que vou usar (explicação didática):
- Regra da potência: se
com constante, então . Aqui cada símbolo significa: é a variável independente e é o expoente. - Regra da cadeia (quando há função composta): se
, então . Em palavras: deriva-se a função externa (avaliada na interna) e multiplica-se pela derivada da função interna. - Vou reescrever
como para aplicar a regra da potência combinada com a cadeia.
Passo 3
Derivação passo a passo:
- Escrevo
- Aplico a regra da cadeia: a função externa é
com derivada (em relação a ); a função interna é com derivada . - Portanto,
- Simplificando os fatores
e ,
- Reescrevendo em forma de raiz,
- Observação sobre domínio da derivada: essa expressão só faz sentido quando o denominador é não nulo e a raiz é definida; logo a fórmula vale para
. Nos pontos a derivada não é finita (denominador zero), então não existe derivada finita ali.
Passo 4
Avaliação da derivada em
(para obter a inclinação da tangente):
- Substituo
na fórmula :
- Se preferir uma forma sem radical no denominador, racionalizo:
- Assim a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em
é .
Passo 5
Equação da reta tangente usando a forma ponto-declive:
- Fórmula ponto-declive: se a reta tangente em
tem inclinação , então
- Aqui
, e . Substituindo:
- Posso deixar assim ou colocar em forma reduzida
. Desenvolvendo:
- Combino os termos constantes escrevendo
, então
- Assim outra forma equivalente é
- Racionalizando os coeficientes (opcional):
- Todas as formas acima são a mesma reta tangente; portanto a reta existe e está bem definida em
.
Resposta
Equação da reta tangente em