A demanda diária de arroz num supermercado, em centenas de quilos, é uma v.a. com f.d.p
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{2 x}{3} & \text { se } 0 \leq x<1 \\\\ -\frac{x}{3}+1, & \text { se se } 1 \leq x<3 \\\\ 0 ; & \text { se } x<0 \text { ou } x>3 \end{array}\right.
Em 30 dias, quanto o gerente do supermercado espera vender?
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória X\) que representa a demanda diária de arroz no supermercado, em centenas de quilos, com densidade de probabilidade
\[f(x)=\begin{cases} \dfrac{2x}{3}, & \text{se } 0 \le x < 1,\\[6pt] -\dfrac{x}{3}+1, & \text{se } 1 \le x < 3,\\[6pt] 0, & \text{se } x<0 \text{ ou } x>3. \end{cases}
O que o enunciado pede: calcular quanto o gerente espera vender em (30] dias.
Informações relevantes fornecidas:
X é a demanda diária (unidade: centenas de quilos).
A função f(x) definida acima é a densidade de probabilidade de X.
Quer-se o total esperado em 30 dias.]
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar.
A expectativa (valor esperado) de uma v.a. contínua X com densidade f(x) é dada por
x é a variável de integração (o possível valor da demanda diária);
f(x) é a densidade de probabilidade de X.
Como f(x)=0 fora do intervalo [0,3), a integral se reduz a \int_{0}^{3} x f(x)\,dx. Vamos calcular \mathbb{E}[X] dividindo a integral nos dois trechos em que f é definido.
Passo 3
Cálculo da contribuição no intervalo 0\le x<1.
Nesse intervalo f(x)=\dfrac{2x}{3}. Então a parte da expectativa é
Multiplicar pelo número de dias (linha de expectativa de soma).
Se X_i for a demanda do dia i, assumindo dias independentes com mesma distribuição, o total em 30 dias é S_{30}=\sum_{i=1}^{30} X_i. Pela linearidade da esperança,