A demanda diária de arroz num supermercado, em centenas de quilos, é uma v.a. com f.d.p
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{2 x}{3} & \text { se } 0 \leq x<1 \\\\ -\frac{x}{3}+1, & \text { se se } 1 \leq x<3 \\\\ 0 ; & \text { se } x<0 \text { ou } x>3 \end{array}\right.
Em 30 dias, quanto o gerente do supermercado espera vender?

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória X\) que representa a demanda diária de arroz no supermercado, em centenas de quilos, com densidade de probabilidade \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{2x}{3}, & \text{se } 0 \le x < 1,\\[6pt] -\dfrac{x}{3}+1, & \text{se } 1 \le x < 3,\\[6pt] 0, & \text{se } x<0 \text{ ou } x>3. \end{cases}
O que o enunciado pede: calcular quanto o gerente espera vender em (30] dias.
Informações relevantes fornecidas:
  • X é a demanda diária (unidade: centenas de quilos).
  • A função f(x) definida acima é a densidade de probabilidade de X.
  • Quer-se o total esperado em 30 dias.]

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar.
A expectativa (valor esperado) de uma v.a. contínua X com densidade f(x) é dada por
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx,
onde:
  • \mathbb{E}[X] é o valor médio esperado de X;
  • x é a variável de integração (o possível valor da demanda diária);
  • f(x) é a densidade de probabilidade de X.
Como f(x)=0 fora do intervalo [0,3), a integral se reduz a \int_{0}^{3} x f(x)\,dx. Vamos calcular \mathbb{E}[X] dividindo a integral nos dois trechos em que f é definido.

Passo 3

Cálculo da contribuição no intervalo 0\le x<1.
Nesse intervalo f(x)=\dfrac{2x}{3}. Então a parte da expectativa é
\int_{0}^{1} x\cdot \frac{2x}{3}\,dx=\int_{0}^{1}\frac{2}{3}x^{2}\,dx.
Integramos passo a passo:
\int_{0}^{1}\frac{2}{3}x^{2}\,dx=\frac{2}{3}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{9}.

Passo 4

Cálculo da contribuição no intervalo 1\le x<3.
Nesse intervalo f(x)=-\dfrac{x}{3}+1. Então a contribuição é
\int_{1}^{3} x\left(-\frac{x}{3}+1\right)\,dx=\int_{1}^{3}\left(-\frac{1}{3}x^{2}+x\right)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int_{1}^{3}\left(-\frac{1}{3}x^{2}+x\right)\,dx =\left[-\frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{3} =\left(-\frac{x^{3}}{9}+\frac{x^{2}}{2}\right)\Bigg|_{1}^{3}.
Calculando os valores:
\text{em }x=3:\\\ -\frac{27}{9}+\frac{9}{2}=-3+\frac{9}{2}=\frac{3}{2},
\text{em }x=1:\\\ -\frac{1}{9}+\frac{1}{2}=\frac{7}{18}.
Subtraindo:
\frac{3}{2}-\frac{7}{18}=\frac{27}{18}-\frac{7}{18}=\frac{20}{18}=\frac{10}{9}.

Passo 5

Somando as duas contribuições para obter \mathbb{E}[X].
Temos
\mathbb{E}[X]=\frac{2}{9}+\frac{10}{9}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}.
Interpretação de unidades: \mathbb{E}[X]=\dfrac{4}{3} está em centenas de quilos por dia. Em quilogramas por dia isso é
\frac{4}{3}\times 100 = \frac{400}{3}\\ \text{kg/dia}\approx 133,333\ldots\\ \text{kg/dia}.

Passo 6

Multiplicar pelo número de dias (linha de expectativa de soma).
Se X_i for a demanda do dia i, assumindo dias independentes com mesma distribuição, o total em 30 dias é S_{30}=\sum_{i=1}^{30} X_i. Pela linearidade da esperança,
\mathbb{E}[S_{30}]=30\cdot \mathbb{E}[X]=30\cdot \frac{4}{3}=40,
onde 40 está em centenas de quilos. Convertendo para quilogramas:
40\\ \text{(centenas de kg)} = 40\times 100 = 4000\\ \text{kg}.

Resposta

4000 kg

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