A demanda diária de arroz num supermercado, em centenas de quilos, é uma v.a. com f.d.p
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{2 x}{3} & \text { se } 0 \leq x<1 \\\\ -\frac{x}{3}+1, & \text { se se } 1 \leq x<3 \\\\ 0 ; & \text { se } x<0 \text { ou } x>3 \end{array}\right.
Qual a quantidade de arroz que deve ser deixada à disposição dos clientes diariamente para que no não falte arroz em 95 \% dos dias?

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade de probabilidade (f.d.p.) da demanda diária de arroz, medida em centenas de quilos:
f(x)=\begin{cases} \dfrac{2x}{3}, & 0\le x<1,\\[6pt] -\dfrac{x}{3}+1, & 1\le x<3,\\[6pt] 0, & x<0\text{ ou }x>3. \end{cases}
O que se pede: determinar a quantidade de arroz que deve ser deixada disponível diariamente para que não falte arroz em 95\% dos dias. Em termos probabilísticos, queremos o valor q tal que
P(X\le q)=0,95,
onde X é a demanda (em centenas de quilos).]

Passo 2

Conceito e método que vamos usar (explicado devagarzinho):
  • A função distribuição acumulada (CDF) F(x) é definida por
F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
  • Para encontrar o quantil de nível 0,95 (o valor que deixa estoque suficiente em 95\% dos dias), achamos q tal que
F(q)=0,95.
  • Como f(x) é dada por partes, vamos calcular F(x) por partes: primeiro para 0\le x<1, depois para 1\le x<3. Depois resolveremos F(q)=0,95.

Passo 3

Calcular F(x) para 0\le x<1.
  • Começamos pela definição:
F(x)=\int_{0}^{x}\frac{2t}{3}\,dt,
pois f(t)=0 para t<0.
  • Integrando: \displaystyle\int \frac{2t}{3}\,dt=\frac{2}{3}\cdot\frac{t^{2}}{2}=\frac{t^{2}}{3}.
  • Avaliando de 0 a x obtemos
F(x)=\frac{x^{2}}{3},\qquad 0\le x<1.

Passo 4

Calcular F(x) para 1\le x<3.
  • Primeiro calcule F(1) usando a expressão anterior:
F(1)=\frac{1^{2}}{3}=\frac{1}{3}.
  • Para 1\le x<3 temos
F(x)=F(1)+\int_{1}^{x}\left(-\frac{t}{3}+1\right)\,dt.
  • Calcule a integral:
\int_{1}^{x}\left(-\frac{t}{3}+1\right)\,dt =\left[-\frac{t^{2}}{6}+t\right]_{1}^{x} =\left(-\frac{x^{2}}{6}+x\right)-\left(-\frac{1}{6}+1\right).
  • Como -\dfrac{1}{6}+1=\dfrac{5}{6}, a integral vale -\dfrac{x^{2}}{6}+x-\dfrac{5}{6}.
  • Somando F(1)=\dfrac{1}{3} temos
F(x)=\frac{1}{3}+\left(-\frac{x^{2}}{6}+x-\frac{5}{6}\right) =-\frac{x^{2}}{6}+x-\frac{1}{2},\qquad 1\le x<3.
  • Verificação rápida: em x=1 -\dfrac{1}{6}+1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3} e em x=3 1 (bom sinal).

Passo 5

Resolver F(q)=0,95. Observação: F(1)=\dfrac{1}{3}\approx0,333, logo 0,95>F(1) e o quantil está na segunda parte (1\le q<3). Usamos a expressão dessa parte:
-\frac{q^{2}}{6}+q-\frac{1}{2}=0,95.
  • Passo algébrico: subtrair 0,95 dos dois lados,
-\frac{q^{2}}{6}+q-\frac{1}{2}-0,95=0
-\frac{q^{2}}{6}+q-1,45=0.
  • Multiplicando por -6 para eliminar frações:
q^{2}-6q+8,7=0.
  • É uma equação quadrática. Calcule o discriminante:
\Delta=(-6)^{2}-4\cdot1\cdot8,7=36-34,8=1,2.
\sqrt{\Delta}=\sqrt{1,2}\approx1,095445.
  • Raízes pela fórmula de Bhaskara:
q=\frac{6\pm\sqrt{1,2}}{2}.
  • Duas soluções numéricas:
q_{1}=\frac{6-1,095445}{2}\approx2,452277,
q_{2}=\frac{6+1,095445}{2}\approx3,547723.
  • A solução q_{2} está fora do suporte ( >3), portanto descartamos. Ficamos com
q\approx2,452277\\ \text{(centenas de kg)}.
  • Converter para kg: multiplicar por 100:
q\approx2,452277\times100\approx245,2277\\ \text{kg}.

Passo 6

Interpretação final e arredondamento prático: o estoque diário deve ser aproximadamente 245,23\\ \text{kg} de arroz para que em 95\% dos dias não falte arroz. (Se preferir arredondar para cima por segurança, pode-se deixar 246\\ \text{kg}, mas o cálculo quantitativo deu cerca de 245,23\\ \text{kg}.)

Resposta

245,23 kg

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