(CAERN - 2013) Após resolver a conta
, encontra-se o valor:
a) 540
b) 1080
c) 100
d) 10
a) 540
b) 1080
c) 100
d) 10
Passo 1
O enunciado pede o valor de
Informações dadas que vamos usar:
- A primeira soma tem os termos
. - A segunda soma tem os termos
. - Ambas as progressões são aritméticas com razão
e têm o mesmo número de termos (vamos verificar e usar isso).
Passo 2
Contar termos e indexar com
.
- A sequência
vai de até com passo . Então há termos. Podemos escrever os termos como com . Assim a primeira soma é
- A sequência
também tem termos (de a , passo ). Os termos podem ser escritos como com . Então a segunda soma é
Passo 3
Expandir a expressão de
. Primeiro note que
Logo
Passo 4
Apresentar as fórmulas que vamos usar e explicar o que cada símbolo significa.
-
. Aqui é a soma dos inteiros de a . - Raciocínio rápido (pareamento): escrevendo
e invertido e somando termo a termo obtém-se , daí a fórmula.
- Raciocínio rápido (pareamento): escrevendo
-
. Aqui é a soma dos quadrados dos inteiros de a . - Raciocínio rápido (identidade com cubos): usar
. Somando essa identidade para até e isolando obtém-se a fórmula acima. Não precisa decorar de cabeça sem motivo, mas é bom saber a origem.
- Raciocínio rápido (identidade com cubos): usar
Nos nossos casos
.
Passo 5
Calcular explicitamente as somas necessárias com
.
Passo 6
Calcular
usando
:
Fazendo a conta:
portanto
.
Passo 7
Calcular
usando a expansão do Passo 3:
Substituindo os valores:
Passo 8
Calcular a diferença pedida:
Verificação curta (ato de esperteza): note que
então a diferença total também é
confirmando o resultado.