(CAERN - 2013) Após resolver a conta \left[5^{2}+10^{2}+15^{2}+\ldots+50^{2}\right]-\left[4^{2}+9^{2}+14^{2}+\ldots+49^{2}\right], encontra-se o valor:
a) 540
b) 1080
c) 100
d) 10

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\left[5^{2}+10^{2}+15^{2}+\ldots+50^{2}\right]-\left[4^{2}+9^{2}+14^{2}+\ldots+49^{2}\right].
Informações dadas que vamos usar:
  • A primeira soma tem os termos 5,10,15,\ldots,50.
  • A segunda soma tem os termos 4,9,14,\ldots,49.
  • Ambas as progressões são aritméticas com razão 5 e têm o mesmo número de termos (vamos verificar e usar isso).

Passo 2

Contar termos e indexar com n.
  • A sequência 5,10,\ldots,50 vai de 5 até 50 com passo 5. Então há 10 termos. Podemos escrever os termos como 5n com n=1,2,\ldots,10. Assim a primeira soma é
S_1=\sum_{n=1}^{10}(5n)^{2}.
  • A sequência 4,9,14,\ldots,49 também tem 10 termos (de 4 a 49, passo 5). Os termos podem ser escritos como 5n-1 com n=1,2,\ldots,10. Então a segunda soma é
S_2=\sum_{n=1}^{10}(5n-1)^{2}.

Passo 3

Expandir a expressão de S_2. Primeiro note que
(5n-1)^{2}=25n^{2}-10n+1.
Logo
S_2=\sum_{n=1}^{10}\left(25n^{2}-10n+1\right)=25\sum_{n=1}^{10}n^{2}-10\sum_{n=1}^{10}n+\sum_{n=1}^{10}1.

Passo 4

Apresentar as fórmulas que vamos usar e explicar o que cada símbolo significa.
  • \displaystyle \sum_{n=1}^{N} n=\frac{N(N+1)}{2}. Aqui \sum_{n=1}^{N} n é a soma dos inteiros de 1 a N.
    • Raciocínio rápido (pareamento): escrevendo 1+2+\cdots+N e invertido N+(N-1)+\cdots+1 e somando termo a termo obtém-se 2\sum_{n=1}^{N}n=N(N+1), daí a fórmula.
  • \displaystyle \sum_{n=1}^{N} n^{2}=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}. Aqui \sum_{n=1}^{N} n^{2} é a soma dos quadrados dos inteiros de 1 a N.
    • Raciocínio rápido (identidade com cubos): usar (k+1)^{3}-k^{3}=3k^{2}+3k+1. Somando essa identidade para k=1 até N e isolando \sum k^{2} obtém-se a fórmula acima. Não precisa decorar de cabeça sem motivo, mas é bom saber a origem.
Nos nossos casos N=10.

Passo 5

Calcular explicitamente as somas necessárias com N=10.
\sum_{n=1}^{10} n=\frac{10\cdot11}{2}=55.
\sum_{n=1}^{10} n^{2}=\frac{10\cdot11\cdot21}{6}=\frac{2310}{6}=385.

Passo 6

Calcular S_1 usando \sum (5n)^{2}=25\sum n^{2}:
S_1=25\sum_{n=1}^{10}n^{2}=25\cdot385.
Fazendo a conta:
25\cdot385=25\cdot(300+85)=7500+2125=9625,
portanto S_1=9625.

Passo 7

Calcular S_2 usando a expansão do Passo 3:
S_2=25\sum_{n=1}^{10}n^{2}-10\sum_{n=1}^{10}n+\sum_{n=1}^{10}1.
Substituindo os valores:
S_2=25\cdot385-10\cdot55+10=9625-550+10=9085.

Passo 8

Calcular a diferença pedida:
S_1-S_2=9625-9085=540.
Verificação curta (ato de esperteza): note que
(5n)^{2}-(5n-1)^{2}=10n-1,
então a diferença total também é
\sum_{n=1}^{10}(10n-1)=10\sum_{n=1}^{10}n-\sum_{n=1}^{10}1=10\cdot55-10=550-10=540,
confirmando o resultado.

Resposta

540

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