O dia e o mês do aniversário de Natasha são raízes da equação x^{3}-15 x^{2}-4 x+60=0. Quando é o aniversário dela?

Passo 1

O enunciado diz que o dia e o mês do aniversário de Natasha são raízes da equação \,x^{3}-15x^{2}-4x+60=0\,. A pergunta é: determinar quando é o aniversário dela (dia e mês).
Informações relevantes dadas:
  • A equação é \,x^{3}-15x^{2}-4x+60=0\,.
  • O dia deve ser um número inteiro entre \,1 e \,31.
  • O mês deve ser um número inteiro entre \,1 e \,12.
  • As raízes da equação incluem os dois números (dia e mês), possivelmente com uma raiz extra que não corresponde.

Passo 2

Vamos encontrar todas as raízes reais da equação para ver quais são válidas como dia e mês. Uma ferramenta útil aqui é o Teorema das Raízes Racionais: se um polinômio com coeficiente líder 1 tem raízes racionais inteiras, então essas raízes são divisores do termo constante. Como o termo constante é \,60, os possíveis divisores inteiros são
\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm5,\pm6,\pm10,\pm12,\pm15,\pm20,\pm30,\pm60.
Isso reduz drasticamente o número de candidatos a testar.

Passo 3

Testamos candidatos simples substituindo na equação. Primeiro tente \,x=1:
1^{3}-15\cdot1^{2}-4\cdot1+60 = 1-15-4+60 = 42 \neq 0.
Agora tente \,x=2:
2^{3}-15\cdot2^{2}-4\cdot2+60 = 8-60-8+60 = 0.
Portanto \,x=2\, é uma raiz da equação. Ótimo — já temos uma raiz que pode ser dia ou mês.

Passo 4

Como \,x=2\, é raiz, podemos dividir o polinômio por \,(x-2) para obter um polinômio quadrático remanescente. Faço a divisão sintética (jeito rápido que funciona assim):
Coeficientes: 1,\,-15,\,-4,\,60.
  • Trago 1 para baixo.
  • Multiplico 1 por 2 e adiciono a -15: obtém-se -13.
  • Multiplico -13 por 2 e adiciono a -4: obtém-se -30.
  • Multiplico -30 por 2 e adiciono a 60: obtém-se 0 (resto).
Logo o polinômio se fatorou como
x^{3}-15x^{2}-4x+60=(x-2)\bigl(x^{2}-13x-30\bigr).

Passo 5

Agora resolvemos o quadrático \,x^{2}-13x-30=0\,. Podemos tentar fatorar: buscamos dois números cuja soma seja -13 e cujo produto seja -30. Esses números são -15 e 2, porque -15+2=-13 e -15\cdot2=-30. Assim
x^{2}-13x-30=(x-15)(x+2).
As raízes desse quadrático são \,x=15\, e \,x=-2\,.

Passo 6

Reunindo todas as raízes do cubo, temos \,x=-2,\;x=2,\;x=15\,. Agora aplicamos as restrições de dia e mês:
  • \,x=-2\, não pode ser nem dia nem mês porque é negativo.
  • Os candidatos positivos são \,2\, e \,15\,.
    Para serem dia e mês, precisamos atribuir um deles ao mês (deve estar entre \,1 e \,12) e outro ao dia (entre \,1 e \,31).
  • Se escolhemos mês =15 e dia =2, isso falha porque \,15>12 (mês inválido).
  • Se escolhemos mês =2 e dia =15, ambos são válidos ( \,2 está entre \,1 e \,12; \,15 está entre \,1 e \,31).
Portanto a atribuição única válida é mês =2 e dia =15.

Resposta

15 de fevereiro

Exercícios relacionados