O dia e o mês do aniversário de Natasha são raízes da equação
. Quando é o aniversário dela?
Passo 1
O enunciado diz que o dia e o mês do aniversário de Natasha são raízes da equação
. A pergunta é: determinar quando é o aniversário dela (dia e mês).
Informações relevantes dadas:
- A equação é
. - O dia deve ser um número inteiro entre
e . - O mês deve ser um número inteiro entre
e . - As raízes da equação incluem os dois números (dia e mês), possivelmente com uma raiz extra que não corresponde.
Passo 2
Vamos encontrar todas as raízes reais da equação para ver quais são válidas como dia e mês. Uma ferramenta útil aqui é o Teorema das Raízes Racionais: se um polinômio com coeficiente líder
tem raízes racionais inteiras, então essas raízes são divisores do termo constante. Como o termo constante é
, os possíveis divisores inteiros são
.
Isso reduz drasticamente o número de candidatos a testar.
Isso reduz drasticamente o número de candidatos a testar.
Passo 3
Testamos candidatos simples substituindo na equação. Primeiro tente
:
Agora tente
:
Portanto
é uma raiz da equação. Ótimo — já temos uma raiz que pode ser dia ou mês.
Passo 4
Como
é raiz, podemos dividir o polinômio por
para obter um polinômio quadrático remanescente. Faço a divisão sintética (jeito rápido que funciona assim):
Coeficientes:
.
- Trago
para baixo. - Multiplico
por e adiciono a : obtém-se . - Multiplico
por e adiciono a : obtém-se . - Multiplico
por e adiciono a : obtém-se (resto).
Logo o polinômio se fatorou como
Passo 5
Agora resolvemos o quadrático
. Podemos tentar fatorar: buscamos dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Esses números são
e
, porque
e
. Assim
As raízes desse quadrático são
e
.
Passo 6
Reunindo todas as raízes do cubo, temos
. Agora aplicamos as restrições de dia e mês:
-
não pode ser nem dia nem mês porque é negativo. - Os candidatos positivos são
e .
Para serem dia e mês, precisamos atribuir um deles ao mês (deve estar entree ) e outro ao dia (entre e ). - Se escolhemos mês
e dia , isso falha porque (mês inválido). - Se escolhemos mês
e dia , ambos são válidos ( está entre e ; está entre e ).
Portanto a atribuição única válida é mês
e dia
.