(Puc-RJ) O produto (x+1)\left(x^{2}-x+1\right) é igual a:
a) x^{3}-1
b) x^{3}+3 x^{2}-3 x+1
c) x^{3}+1
d) x^{3}-3 x^{2}+3 x-1
e) x^{2}+2

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o produto \,(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)\, e escolha a alternativa correta entre as dadas. Informação importante do enunciado:
  • A expressão a ser multiplicada é \,(x+1)\left(x^{2}-x+1\right).
  • As alternativas são:
    • a) \,x^{3}-1
    • b) \,x^{3}+3x^{2}-3x+1
    • c) \,x^{3}+1
    • d) \,x^{3}-3x^{2}+3x-1
    • e) \,x^{2}+2

Passo 2

Vamos lembrar a propriedade distributiva (a regra básica para multiplicar polinômios): para quaisquer polinômios A, B, C,
(A+B)C = AC + BC.
Aqui A=x, B=1 e C=x^{2}-x+1. Então aplicamos a distributiva escrevendo
(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)=x\left(x^{2}-x+1\right)+1\left(x^{2}-x+1\right).
Isto é só multiplicar cada parcela do primeiro fator pelo segundo fator.

Passo 3

Agora multiplicamos termo a termo. Primeiro multiplicamos por x:
x\left(x^{2}-x+1\right)=x\cdot x^{2}-x\cdot x + x\cdot 1 = x^{3}-x^{2}+x.
Depois multiplicamos por 1:
1\left(x^{2}-x+1\right)=x^{2}-x+1.

Passo 4

Somamos os dois resultados (combinar termos semelhantes):
x^{3}-x^{2}+x \;+\; x^{2}-x+1.
Agora veja os cancelamentos entre termos semelhantes:
  • O termo -x^{2} soma com +x^{2} e se anulam.
  • O termo +x soma com -x e se anulam.
    Sobram apenas
x^{3}+1.
Portanto a expressão desenvolvida é \,x^{3}+1.

Passo 5

Uma observação adicional (útil para decorar e reconhecer padrões na prova): existe a identidade de soma de cubos
a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right).
Se aplicarmos com a=x e b=1 obtemos exatamente
x^{3}+1=(x+1)\left(x^{2}-x+1\right),
o que confirma o resultado obtido pela distributiva. Essa identidade é boa para reconhecer fatores rapidamente sem calcular termo a termo.

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas, a que corresponde a \,x^{3}+1 é a alternativa indicada em seguida.

Resposta

c) x^{3}+1

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