Ao perguntarem sobre sua idade, Juliana respondeu: é uma das raízes da equação x^{3}-13 x^{2}-2 x+26=0. Qual é a idade de Juliana?

Passo 1

O enunciado diz que, ao perguntarem sua idade, Juliana respondeu: “é uma das raízes da equação” x^{3}-13 x^{2}-2 x+26=0. A pergunta é: qual é a idade de Juliana?
Informações dadas:
  • O polinômio é x^{3}-13 x^{2}-2 x+26.
  • A idade de Juliana é um dos valores de x que tornam esse polinômio igual a zero (isto é, uma raiz da equação).

Passo 2

Vamos encontrar todas as raízes da equação fatorando o polinômio. Uma técnica simples para polinômios é a fatoração por agrupamento: agrupar termos de forma a fatorar um fator comum em cada grupo, e em seguida extrair um fator comum entre os dois grupos. Vou explicar a técnica passo a passo para aplicar aqui.

Passo 3

Agrupando os termos do polinômio por pares:
x^{3}-13 x^{2}-2 x+26 = (x^{3}-13x^{2}) + (-2x+26).
Agora fatoramos cada grupo retirando o fator comum:
(x^{3}-13x^{2}) = x^{2}(x-13), \qquad (-2x+26) = -2(x-13).
Repare que ambos os grupos têm o fator comum (x-13). Assim:
x^{3}-13 x^{2}-2 x+26 = x^{2}(x-13) -2(x-13) = (x-13)(x^{2}-2).
Essa é a fatoração completa do polinômio.

Passo 4

Para achar as raízes, igualamos cada fator a zero:
  1. Do fator (x-13):
x-13=0 \quad\Rightarrow\quad x=13.
  1. Do fator (x^{2}-2):
x^{2}-2=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=2 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{2}.
Portanto as três raízes reais são
x=13,\qquad x=\sqrt{2}\approx 1,4142,\qquad x=-\sqrt{2}\approx -1,4142.

Passo 5

Agora precisamos escolher qual dessas raízes é a idade de Juliana. Algumas observações para justificar a escolha:
  • Idade é uma quantidade não negativa (pessoas não têm idade negativa), então descartamos x=-\sqrt{2}.
  • Entre as restantes, x=\sqrt{2} é aproximadamente 1,4142 anos — embora tecnicamente alguém possa ter idade não inteira (por exemplo, 1{,}4 anos), em problemas desse tipo a convenção razoável é que “idade” se refere a um número inteiro de anos. Além disso, o enunciado normalmente espera uma resposta inteira quando a alternativa inteira aparece como raiz.
  • A raiz inteira e plausível como idade é x=13.

Passo 6

Portanto, interpretando “idade” como o número de anos inteiros que normalmente se pede em problemas desse tipo, a escolha correta é 13. Se quisesse-se permitir idades não inteiras, \sqrt{2} seria numericamente possível, mas não é a resposta esperada em contexto típico de concurso/prova.

Resposta

13

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