Considere que um ninho de vespas é construído no formato de uma esfera e que a rainha ocupa exatamente o centro da esfera. Considere ainda que o raio do ninho está aumentando 2 centímetros por mês.
Para identificar um ponto qualquer no ninho de vespas, tomaremos como referência um sistema de coordenadas retangulares tridimensional em que a rainha está localizada no ponto ( 0,0,0 ), e as coordenadas \mathrm{x}, \mathrm{y} e z são dadas em centímetros.
Assumindo que a densidade populacional no interior do ninho é dado por
\rho(x, y, z)=\frac{x^{2}+y^{2}}{200\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)} \mathrm{hab} / \mathrm{cm}^{3}
determine o aumento da população de vespas entre os meses 4 e 7 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas as coordenadas em centímetros):
  • A rainha está no centro da esfera, isto é, no ponto (0,0,0).
  • A densidade populacional é
\rho(x,y,z)=\frac{x^{2}+y^{2}}{200\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)}\\ \text{hab}/\text{cm}^{3}.
  • O raio do ninho cresce a uma taxa constante de 2 centímetros por mês. Vou assumir a leitura natural do enunciado em que, medindo o tempo a partir do início da construção, o raio no mês t é
R(t)=2t\\ \text{cm}.
Logo, nos meses pedidos:
R(4)=2\cdot4=8\\ \text{cm},\qquad R(7)=2\cdot7=14\\ \text{cm}.
O que se pede: o aumento da população total de vespas entre os meses 4 e 7, isto é,
\Delta N = N\bigl(R(7)\bigr)-N\bigl(R(4)\bigr),
onde N(R) é a população total dentro da esfera de raio R.

Passo 2

Como a região é uma esfera centrada na origem, é natural usar coordenadas esféricas. Vamos revisar e aplicar isso com calma.
Definição de coordenadas esféricas (convencional):
  • r é a distância radial ao centro (aqui em cm), com 0\le r\le R.
  • \varphi é o ângulo polar (medido a partir do eixo z), com 0\le\varphi\le\pi.
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, com 0\le\theta<2\pi.
As transformações são
x = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = r\cos\varphi.
O elemento de volume em esféricas é
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Agora vamos escrever a densidade em esféricas. Observando o numerador x^{2}+y^{2},
x^{2}+y^{2} = r^{2}\sin^{2}\varphi\bigl(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\bigr)=r^{2}\sin^{2}\varphi.
E o denominador x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}. Assim,
\rho(x,y,z)=\frac{r^{2}\sin^{2}\varphi}{200\,r^{2}}=\frac{\sin^{2}\varphi}{200}.
Importante: a densidade ficou independente de r; depende só do ângulo \varphi.

Passo 3

A população total dentro de uma esfera de raio R é a integral da densidade sobre o volume da esfera:
N(R)=\iiint_{V_R}\rho\,dV.
Em coordenadas esféricas isso vira
N(R)=\int_{r=0}^{R}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{\theta=0}^{2\pi}\frac{\sin^{2}\varphi}{200}\; r^{2}\sin\varphi\\ d\theta\,d\varphi\,dr.
Agrupando fatores:
N(R)=\frac{1}{200}\int_{0}^{R}r^{2}\,dr\;\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi\;\int_{0}^{2\pi}d\theta.
Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. Integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi.
  1. Integral em r:
\int_{0}^{R} r^{2}\,dr = \frac{R^{3}}{3}.
  1. Integral em \varphi:
    Calculemos \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi. Use substituição u=\cos\varphi, então du=-\sin\varphi\,d\varphi. Escrevendo \sin^{3}\varphi=\sin\varphi\,(1-\cos^{2}\varphi) temos
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi = \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,(1-\cos^{2}\varphi)\,d\varphi = \int_{u=1}^{-1} (1-u^{2})(-du) = \int_{-1}^{1} (1-u^{2})\,du.
Agora integrate:
\int_{-1}^{1}(1-u^{2})\,du = \bigl[u-\tfrac{u^{3}}{3}\bigr]_{-1}^{1} = \Bigl(1-\tfrac{1}{3}\Bigr)-\Bigl(-1+\tfrac{1}{3}\Bigr) = \tfrac{2}{3} -(-\tfrac{2}{3}) = \tfrac{4}{3}.

Passo 4

Substituindo os resultados na expressão para N(R):
N(R)=\frac{1}{200}\cdot\frac{R^{3}}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot 2\pi.
Multiplicando os fatores:
N(R)=\frac{1}{200}\cdot\frac{R^{3}}{3}\cdot\frac{8\pi}{3} = R^{3}\cdot\frac{8\pi}{200\cdot 9} = R^{3}\cdot\frac{8\pi}{1800}.
Simplificando \dfrac{8}{1800}=\dfrac{1}{225}, obtemos a fórmula simples
N(R)=\frac{\pi}{225}\,R^{3}\\ \text{hab}.
Interpretação: a população total cresce com o cubo do raio, e o fator \dfrac{\pi}{225} é a constante que relaciona raio (em cm) ao número de vespas.

Passo 5

Agora calculamos o aumento da população entre os meses 4 e 7. Usando R(4)=8 cm e R(7)=14 cm:
\Delta N = N(14)-N(8) = \frac{\pi}{225}\bigl(14^{3}-8^{3}\bigr).
Calcule os cubos:
14^{3}=2744,\qquad 8^{3}=512,\qquad 2744-512=2232.
Portanto
\Delta N = \frac{\pi}{225}\cdot 2232.
Simplificando a fração, divida numerador e denominador por 9:
\frac{2232}{225}=\frac{248}{25}.
Logo a forma exata é
\Delta N = \frac{248\pi}{25}\\ \text{hab}.

Passo 6

Valor numérico aproximado (usando \pi\approx3{,}14159265):
\Delta N \approx \frac{248}{25}\pi \approx 31{,}17\\ \text{hab}.
Isso significa um aumento aproximado de 31{,}17 vespas (o modelo dá um número real; em contagem inteira, seria cerca de 31 vespas).

Resposta

\dfrac{248\pi}{25}\\ \text{hab}\n \approx 31{,}17\\ \text{hab}

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