Considere que um ninho de vespas é construído no formato de uma esfera e que a rainha ocupa exatamente o centro da esfera. Considere ainda que o raio do ninho está aumentando 2 centímetros por mês.
Para identificar um ponto qualquer no ninho de vespas, tomaremos como referência um sistema de coordenadas retangulares tridimensional em que a rainha está localizada no ponto (
), e as coordenadas
e z são dadas em centímetros.
Assumindo que a densidade populacional no interior do ninho é dado por
determine o aumento da população de vespas entre os meses 4 e 7 .
Para identificar um ponto qualquer no ninho de vespas, tomaremos como referência um sistema de coordenadas retangulares tridimensional em que a rainha está localizada no ponto (
Assumindo que a densidade populacional no interior do ninho é dado por
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas as coordenadas em centímetros):
- A rainha está no centro da esfera, isto é, no ponto
. - A densidade populacional é
- O raio do ninho cresce a uma taxa constante de
centímetros por mês. Vou assumir a leitura natural do enunciado em que, medindo o tempo a partir do início da construção, o raio no mês é
Logo, nos meses pedidos:
O que se pede: o aumento da população total de vespas entre os meses
e
, isto é,
onde
é a população total dentro da esfera de raio
.
Passo 2
Como a região é uma esfera centrada na origem, é natural usar coordenadas esféricas. Vamos revisar e aplicar isso com calma.
Definição de coordenadas esféricas (convencional):
-
é a distância radial ao centro (aqui em cm), com . -
é o ângulo polar (medido a partir do eixo ), com . -
é o ângulo azimutal no plano , com .
As transformações são
O elemento de volume em esféricas é
Agora vamos escrever a densidade em esféricas. Observando o numerador
,
E o denominador
. Assim,
Importante: a densidade ficou independente de
; depende só do ângulo
.
Passo 3
A população total dentro de uma esfera de raio
é a integral da densidade sobre o volume da esfera:
Em coordenadas esféricas isso vira
Agrupando fatores:
Vamos calcular cada integral separadamente:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Calculemos. Use substituição , então . Escrevendo temos
Agora integrate:
Passo 4
Substituindo os resultados na expressão para
:
Multiplicando os fatores:
Simplificando
, obtemos a fórmula simples
Interpretação: a população total cresce com o cubo do raio, e o fator
é a constante que relaciona raio (em cm) ao número de vespas.
Passo 5
Agora calculamos o aumento da população entre os meses
e
. Usando
cm e
cm:
Calcule os cubos:
Portanto
Simplificando a fração, divida numerador e denominador por
:
Logo a forma exata é
Passo 6
Valor numérico aproximado (usando
):
Isso significa um aumento aproximado de
vespas (o modelo dá um número real; em contagem inteira, seria cerca de
vespas).