Em uma caixa com 15 peças, seis delas são defeituosas. São selecionadas três peças ao acaso, sem reposição.
Obtenha a probabilidade das três peças serem defeituosas.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, ao selecionar três peças ao acaso e sem reposição de uma caixa com peças, todas as três sejam defeituosas. Informações fornecidas pelo enunciado:
  • \,15\, peças no total.
  • Dessas, \,6\, são defeituosas.
  • São selecionadas \,3\, peças sem reposição (ou seja, depois de tirar uma peça não a colocamos de volta).
  • Pergunta: qual a probabilidade de que as três peças selecionadas sejam todas defeituosas?

Passo 2

Conceito que vamos usar: regra do produto para probabilidades condicionais. Se queremos a probabilidade de ocorrerem três eventos em sequência A, B e C, então
P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B\mid A)\cdot P(C\mid A\cap B).
Aqui P(B\mid A) significa “a probabilidade de B acontecer sabendo que A já ocorreu”. Vou aplicar isso diretamente ao nosso sorteio sem reposição: considere A = “1ª peça defeituosa”, B = “2ª peça defeituosa”, C = “3ª peça defeituosa”.

Passo 3

Calcular P(A), a probabilidade da primeira peça ser defeituosa. Há \,6\, peças defeituosas entre \,15\, peças no total, então
P(A)=\frac{6}{15}.
Explicando: qualquer peça é igualmente provável no primeiro sorteio, então a fração de peças defeituosas dá a probabilidade.

Passo 4

Calcular P(B\mid A), a probabilidade da segunda peça ser defeituosa dado que a primeira já foi defeituosa. Se a primeira foi defeituosa, resta \,5\, peças defeituosas entre as \,14\, peças restantes, logo
P(B\mid A)=\frac{5}{14}.
Expliquei o porquê: sem reposição o número total e o número de defeituosas diminuem em 1 quando a primeira retirada foi defeituosa.

Passo 5

Calcular P(C\mid A\cap B), a probabilidade da terceira peça ser defeituosa sabendo que as duas primeiras foram defeituosas. Depois de duas defeituosas retiradas, restam \,4\, defeituosas entre \,13\, peças totais, então
P(C\mid A\cap B)=\frac{4}{13}.

Passo 6

Aplicar a regra do produto e multiplicar as probabilidades:
P(\text{3 defeituosas})=\frac{6}{15}\cdot\frac{5}{14}\cdot\frac{4}{13}.

Passo 7

Fazer a multiplicação e simplificação passo a passo para poder calcular sem calculadora:
\frac{6}{15}\cdot\frac{5}{14}\cdot\frac{4}{13}=\frac{6\cdot5\cdot4}{15\cdot14\cdot13}=\frac{120}{2730}.
Agora simplifico a fração dividindo numerador e denominador pelo máximo divisor comum óbvio 30:
\frac{120}{2730}=\frac{4}{91}.
Como verificação rápida, \frac{4}{91}\approx 0{,}04396 (aprox.).

Passo 8

Método alternativo (contagem combinatória) — mesma ideia, mostrado para reforçar a intuição: o número de maneiras de escolher \,3\, defeituosas entre as \,6\, defeituosas é \binom{6}{3}. O número total de maneiras de escolher qualquer \,3\, peças entre \,15\, é \binom{15}{3}. Assim a probabilidade é
\frac{\binom{6}{3}}{\binom{15}{3}}.
Calculo dos binomiais:
\binom{6}{3}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=20,
\binom{15}{3}=\frac{15\cdot14\cdot13}{3\cdot2\cdot1}=455.
Portanto
\frac{20}{455}=\frac{4}{91},
o mesmo resultado — ótimo sinal de que está correto.

Passo 9

Resumo final e incentivo: a probabilidade de retirar três peças e todas serem defeituosas é \frac{4}{91}, um valor pequeno (cerca de 4{,}4\%). Você conseguiu entender o raciocínio: conta-se as opções favoráveis e totais ou usa-se a regra do produto com probabilidades condicionais — ambas dão o mesmo resultado. Força nos estudos, você tá indo bem!

Resposta

\dfrac{4}{91}

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