Em uma caixa com 15 peças, seis delas são defeituosas. São selecionadas três peças ao acaso, sem reposição.
Obtenha a probabilidade das três peças serem defeituosas.
Obtenha a probabilidade das três peças serem defeituosas.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que, ao selecionar três peças ao acaso e sem reposição de uma caixa com peças, todas as três sejam defeituosas. Informações fornecidas pelo enunciado:
- Há
peças no total. - Dessas,
são defeituosas. - São selecionadas
peças sem reposição (ou seja, depois de tirar uma peça não a colocamos de volta). - Pergunta: qual a probabilidade de que as três peças selecionadas sejam todas defeituosas?
Passo 2
Conceito que vamos usar: regra do produto para probabilidades condicionais. Se queremos a probabilidade de ocorrerem três eventos em sequência
,
e
, então
Aqui
significa “a probabilidade de
acontecer sabendo que
já ocorreu”. Vou aplicar isso diretamente ao nosso sorteio sem reposição: considere
= “1ª peça defeituosa”,
= “2ª peça defeituosa”,
= “3ª peça defeituosa”.
Passo 3
Calcular
, a probabilidade da primeira peça ser defeituosa. Há
peças defeituosas entre
peças no total, então
Explicando: qualquer peça é igualmente provável no primeiro sorteio, então a fração de peças defeituosas dá a probabilidade.
Passo 4
Calcular
, a probabilidade da segunda peça ser defeituosa dado que a primeira já foi defeituosa. Se a primeira foi defeituosa, resta
peças defeituosas entre as
peças restantes, logo
Expliquei o porquê: sem reposição o número total e o número de defeituosas diminuem em 1 quando a primeira retirada foi defeituosa.
Passo 5
Calcular
, a probabilidade da terceira peça ser defeituosa sabendo que as duas primeiras foram defeituosas. Depois de duas defeituosas retiradas, restam
defeituosas entre
peças totais, então
Passo 6
Aplicar a regra do produto e multiplicar as probabilidades:
Passo 7
Fazer a multiplicação e simplificação passo a passo para poder calcular sem calculadora:
Agora simplifico a fração dividindo numerador e denominador pelo máximo divisor comum óbvio
:
Como verificação rápida,
(aprox.).
Passo 8
Método alternativo (contagem combinatória) — mesma ideia, mostrado para reforçar a intuição: o número de maneiras de escolher
defeituosas entre as
defeituosas é
. O número total de maneiras de escolher qualquer
peças entre
é
. Assim a probabilidade é
Calculo dos binomiais:
Portanto
o mesmo resultado — ótimo sinal de que está correto.
Passo 9
Resumo final e incentivo: a probabilidade de retirar três peças e todas serem defeituosas é
, um valor pequeno (cerca de
). Você conseguiu entender o raciocínio: conta-se as opções favoráveis e totais ou usa-se a regra do produto com probabilidades condicionais — ambas dão o mesmo resultado. Força nos estudos, você tá indo bem!