Em uma caixa com 15 peças, seis delas são defeituosas. São selecionadas três peças ao acaso, sem reposição.
Obtenha a probabilidade das três peças não serem defeituosas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Informações dadas: há 15 peças no total; dentre elas 6 são defeituosas e, portanto, 9 são não defeituosas. São escolhidas 3 peças ao acaso, sem reposição.
  • O que é pedido: a probabilidade de que as três peças selecionadas sejam todas não defeituosas.

Passo 2

Escolha do método: vou resolver do modo mais direto e pedagógico para prova — usando a regra do produto para probabilidades condicionais (método sequencial) — e em seguida mostro uma verificação alternativa usando combinatória (hipergeométrica). Expliquei isso porque a regra do produto é bem visual e fácil de aplicar sem calculadora; a combinatória confirma o resultado de forma elegante.

Passo 3

Relembrando a regra do produto (explicação didática): se queremos a probabilidade de que ocorram três eventos em sequência A_1, A_2, A_3, sem reposição, usamos
P(A_1\\ \text{e}\\ A_2\\ \text{e}\\ A_3)=P(A_1)\cdot P(A_2\mid A_1)\cdot P(A_3\mid A_1\\ \text{e}\\ A_2).
Aqui cada termo é: P(A_1) = probabilidade do primeiro evento; P(A_2\mid A_1) = probabilidade do segundo dado que o primeiro ocorreu; e assim por diante. Isso é simplesmente a regra da multiplicação de probabilidades condicionais. Vou aplicar isso com A_i = “peça i é não defeituosa”.

Passo 4

Aplicando o método sequencial passo a passo (contando peças restantes a cada retirada):
  • Probabilidade da primeira peça ser não defeituosa:
P(\text{1ª não defeituosa})=\frac{9}{15}.ªã
Expliquei: há 9 peças boas entre 15 totais.
  • Probabilidade da segunda peça ser não defeituosa, dado que a primeira foi não defeituosa:
P(\text{2ª não defeituosa}\mid \text{1ª não defeituosa})=\frac{8}{14}.ªãªã
Expliquei: uma peça boa foi retirada, sobraram 8 boas e 14 no total.
  • Probabilidade da terceira ser não defeituosa, dado que as duas primeiras foram não defeituosas:
P(\text{3ª não defeituosa}\mid \text{1ª e 2ª não defeituosas})=\frac{7}{13}.ªãªªã
Expliquei: agora sobraram 7 boas entre 13 peças.
Multiplicando os três termos pela regra do produto:
P(\text{3 todas não defeituosas})=\frac{9}{15}\cdot\frac{8}{14}\cdot\frac{7}{13}.ã

Passo 5

Fazendo cancelamentos e simplificando (mostro passo a passo para você poder fazer sem calculadora):
Primeiro escrevo o produto:
\frac{9}{15}\cdot\frac{8}{14}\cdot\frac{7}{13}.
Cancelamentos úteis:
  • \dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5} (dividi numerador e denominador por 3);
  • \dfrac{8}{14}=\dfrac{4}{7} (dividi por 2);
  • então o produto fica \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{4}{7}\cdot\dfrac{7}{13}.
Agora cancela-se o 7 do numerador com o 7 do denominador:
\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{4}{7}\cdot\dfrac{7}{13}=\dfrac{3\cdot 4\cdot \cancel{7}}{5\cdot \cancel{7}\cdot 13}=\dfrac{12}{65}.
Portanto a probabilidade é \dfrac{12}{65}.

Passo 6

Verificação alternativa por combinatória (explicação didática): sem reposição, a probabilidade de escolher exatamente um conjunto de 3 peças é o número de maneiras favoráveis dividido pelo número de maneiras totais. O número de maneiras de escolher 3 não defeituosas entre as 9 disponíveis é \binom{9}{3}. O número de maneiras de escolher qualquer conjunto de 3 peças entre 15 é \binom{15}{3}. Assim
P=\frac{\binom{9}{3}}{\binom{15}{3}}.
Calculemos: \binom{9}{3}=\dfrac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}=84 e \binom{15}{3}=\dfrac{15\cdot14\cdot13}{6}=455. Então
P=\frac{84}{455}=\frac{12}{65},
o que confirma o resultado do método sequencial.

Passo 7

Interpretação final e valor aproximado (útil para prova): a fração \dfrac{12}{65} é aproximadamente
\dfrac{12}{65}\approx 0,184615\ldots,
ou seja, cerca de 18{,}46\%. Força — você já sabe dois métodos para esse tipo de problema e pode escolher o que achar mais rápido na prova.

Resposta

\dfrac{12}{65} \approx 0,184615

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