Em uma caixa com 15 peças, seis delas são defeituosas. São selecionadas três peças ao acaso, sem reposição.
Obtenha a probabilidade das três peças não serem defeituosas.
Obtenha a probabilidade das três peças não serem defeituosas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
- Informações dadas: há
peças no total; dentre elas são defeituosas e, portanto, são não defeituosas. São escolhidas peças ao acaso, sem reposição. - O que é pedido: a probabilidade de que as três peças selecionadas sejam todas não defeituosas.
Passo 2
Escolha do método: vou resolver do modo mais direto e pedagógico para prova — usando a regra do produto para probabilidades condicionais (método sequencial) — e em seguida mostro uma verificação alternativa usando combinatória (hipergeométrica). Expliquei isso porque a regra do produto é bem visual e fácil de aplicar sem calculadora; a combinatória confirma o resultado de forma elegante.
Passo 3
Relembrando a regra do produto (explicação didática): se queremos a probabilidade de que ocorram três eventos em sequência
,
,
, sem reposição, usamos
Aqui cada termo é:
= probabilidade do primeiro evento;
= probabilidade do segundo dado que o primeiro ocorreu; e assim por diante. Isso é simplesmente a regra da multiplicação de probabilidades condicionais. Vou aplicar isso com
= “peça
é não defeituosa”.
Passo 4
Aplicando o método sequencial passo a passo (contando peças restantes a cada retirada):
- Probabilidade da primeira peça ser não defeituosa:
Expliquei: há
peças boas entre
totais.
- Probabilidade da segunda peça ser não defeituosa, dado que a primeira foi não defeituosa:
Expliquei: uma peça boa foi retirada, sobraram
boas e
no total.
- Probabilidade da terceira ser não defeituosa, dado que as duas primeiras foram não defeituosas:
Expliquei: agora sobraram
boas entre
peças.
Multiplicando os três termos pela regra do produto:
Passo 5
Fazendo cancelamentos e simplificando (mostro passo a passo para você poder fazer sem calculadora):
Primeiro escrevo o produto:
Cancelamentos úteis:
-
(dividi numerador e denominador por ); -
(dividi por ); - então o produto fica
.
Agora cancela-se o
do numerador com o
do denominador:
Portanto a probabilidade é
.
Passo 6
Verificação alternativa por combinatória (explicação didática): sem reposição, a probabilidade de escolher exatamente um conjunto de
peças é o número de maneiras favoráveis dividido pelo número de maneiras totais. O número de maneiras de escolher
não defeituosas entre as
disponíveis é
. O número de maneiras de escolher qualquer conjunto de
peças entre
é
. Assim
Calculemos:
e
. Então
o que confirma o resultado do método sequencial.
Passo 7
Interpretação final e valor aproximado (útil para prova): a fração
é aproximadamente
ou seja, cerca de
. Força — você já sabe dois métodos para esse tipo de problema e pode escolher o que achar mais rápido na prova.