Quantas comissões com 3 pessoas podemos formar com os alunos: Sabrina, Solana, Júlia, Lucas e Carolina de tal forma que Carolina sempre esteja dentro dessa comissão?
Passo 1
O enunciado pede: “Quantas comissões com 3 pessoas podemos formar com os alunos: Sabrina, Solana, Júlia, Lucas e Carolina de tal forma que Carolina sempre esteja dentro dessa comissão?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Temos exatamente cinco alunos: Sabrina, Solana, Júlia, Lucas e Carolina.
- Cada comissão tem exatamente três pessoas.
- A condição é que Carolina esteja sempre presente em toda comissão.
Passo 2
Vamos simplificar a ideia: se Carolina já está garantida em toda comissão, então só precisamos escolher as outras duas pessoas da comissão entre os demais quatro alunos (Sabrina, Solana, Júlia e Lucas).\n
Portanto o problema reduz-se a: “De quantas maneiras podemos escolher 2 pessoas dentre 4?” — isso é uma escolha sem ordem (uma comissão não tem ordem) e sem repetição.
Portanto o problema reduz-se a: “De quantas maneiras podemos escolher 2 pessoas dentre 4?” — isso é uma escolha sem ordem (uma comissão não tem ordem) e sem repetição.
Passo 3
A ferramenta padrão para contar escolhas sem ordem é o coeficiente binomial (combinação). A fórmula é:
Explicando cada parte, sem pressa:
-
lê-se “n escolhe k” e representa o número de subconjuntos de tamanho que podemos formar a partir de um conjunto de elementos. -
(lê-se “n fatorial”) é o produto . Por convenção . - No nosso contexto,
é o total de candidatos para escolher (aqui ) e é o número de vagas restantes na comissão (aqui ).
Razoamento curto de por que a fórmula funciona:conta todas as permutações dos elementos; dividir por e por remove as ordens internas que não interessam e o arranjo dos que não foram escolhidos.
Passo 4
Aplicando a fórmula com
e
:
Calculemos os fatoriais passo a passo:
Substituindo:
Logo, há
maneiras de escolher as outras duas pessoas além da Carolina.
Passo 5
Para fixar a intuição, vamos listar as
comissões (todas incluem Carolina):
- Carolina, Sabrina e Solana\n
- Carolina, Sabrina e Júlia\n
- Carolina, Sabrina e Lucas\n
- Carolina, Solana e Júlia\n
- Carolina, Solana e Lucas\n
- Carolina, Júlia e Lucas\n
Viu? São exatamente todas as combinações de pares entre os quatro restantes, cada par formando, junto com Carolina, uma comissão.
Passo 6
Checagem alternativa (confirmação): o número total de comissões de 3 entre 5 é
O número de comissões de 3 que NÃO têm Carolina é o número de escolher 3 entre os 4 restantes:
Subtraindo, obtemos
, que confirma nosso resultado.