Quantas comissões com 3 pessoas podemos formar com os alunos: Sabrina, Solana, Júlia, Lucas e Carolina de tal forma que Carolina sempre esteja dentro dessa comissão?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantas comissões com 3 pessoas podemos formar com os alunos: Sabrina, Solana, Júlia, Lucas e Carolina de tal forma que Carolina sempre esteja dentro dessa comissão?”\n
Informações dadas:
  • Temos exatamente cinco alunos: Sabrina, Solana, Júlia, Lucas e Carolina.
  • Cada comissão tem exatamente três pessoas.
  • A condição é que Carolina esteja sempre presente em toda comissão.

Passo 2

Vamos simplificar a ideia: se Carolina já está garantida em toda comissão, então só precisamos escolher as outras duas pessoas da comissão entre os demais quatro alunos (Sabrina, Solana, Júlia e Lucas).\n
Portanto o problema reduz-se a: “De quantas maneiras podemos escolher 2 pessoas dentre 4?” — isso é uma escolha sem ordem (uma comissão não tem ordem) e sem repetição.

Passo 3

A ferramenta padrão para contar escolhas sem ordem é o coeficiente binomial (combinação). A fórmula é:
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
Explicando cada parte, sem pressa:
  • \binom{n}{k} lê-se “n escolhe k” e representa o número de subconjuntos de tamanho k que podemos formar a partir de um conjunto de n elementos.
  • n! (lê-se “n fatorial”) é o produto n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1. Por convenção 0! = 1.
  • No nosso contexto, n é o total de candidatos para escolher (aqui n=4) e k é o número de vagas restantes na comissão (aqui k=2).
    Razoamento curto de por que a fórmula funciona: n! conta todas as permutações dos n elementos; dividir por k! e por (n-k)! remove as ordens internas que não interessam e o arranjo dos que não foram escolhidos.

Passo 4

Aplicando a fórmula com n=4 e k=2:
\binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \, 2!}
Calculemos os fatoriais passo a passo:
4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24,
2! = 2 \cdot 1 = 2.
Substituindo:
\binom{4}{2} = \frac{24}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6.
Logo, há 6 maneiras de escolher as outras duas pessoas além da Carolina.

Passo 5

Para fixar a intuição, vamos listar as 6 comissões (todas incluem Carolina):
  1. Carolina, Sabrina e Solana\n
  2. Carolina, Sabrina e Júlia\n
  3. Carolina, Sabrina e Lucas\n
  4. Carolina, Solana e Júlia\n
  5. Carolina, Solana e Lucas\n
  6. Carolina, Júlia e Lucas\n
    Viu? São exatamente todas as combinações de pares entre os quatro restantes, cada par formando, junto com Carolina, uma comissão.

Passo 6

Checagem alternativa (confirmação): o número total de comissões de 3 entre 5 é
\binom{5}{3} = 10.
O número de comissões de 3 que NÃO têm Carolina é o número de escolher 3 entre os 4 restantes:
\binom{4}{3} = 4.
Subtraindo, obtemos 10 - 4 = 6, que confirma nosso resultado.

Resposta

\,6\,

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