Em uma caixa com 15 peças, seis delas são defeituosas. São selecionadas três peças ao acaso, sem reposição.
Obtenha a probabilidade de pelo menos uma peça ser defeituosa.
Obtenha a probabilidade de pelo menos uma peça ser defeituosa.
Passo 1
O enunciado diz o seguinte: temos uma caixa com
peças, das quais
são defeituosas e, portanto,
são boas. Selecionam-se
peças ao acaso sem reposição. A pergunta é: obter a probabilidade de que ocorra “pelo menos uma peça defeituosa” entre as
retiradas.
Informações relevantes dadas:
O que se pede:
Passo 2
Estratégia (explicada de forma intuitiva): é muito mais simples calcular a probabilidade do evento complementar “nenhuma peça defeituosa” (ou seja, todas as 3 são boas) e então usar que
Por quê? Porque “pelo menos uma” é a soma de muitas possibilidades (uma, duas ou três defeituosas), enquanto “nenhuma” é só um caso fácil de contar. Vamos seguir por esse caminho.
Passo 3
Conceito necessário — combinações: quando contamos maneiras de escolher
itens dentre
sem ordem, usamos o símbolo
(lê-se “n escolhe k”). A fórmula é
Aqui queremos contar de quantas maneiras escolher
peças entre
(todas as possíveis amostras de tamanho
) e de quantas maneiras escolher
apenas entre as
boas (casos sem defeituosa). A probabilidade de todas as 3 serem boas é dada por
Passo 4
Calcular
passo a passo:
Fazendo as contas sem calculadora:
e
, então
Passo 5
Calcular
passo a passo:
Multiplicando:
e
, então
Passo 6
Probabilidade de nenhuma defeituosa (todas as 3 boas):
Agora usamos o complemento para obter a probabilidade pedida:
Passo 7
Simplificar a fração
. Observe que
e
, portanto podemos cancelar o fator
:
Se quiser uma aproximação decimal (útil para intuição),