Em uma caixa com 15 peças, seis delas são defeituosas. São selecionadas três peças ao acaso, sem reposição.
Obtenha a probabilidade de pelo menos uma peça ser defeituosa.

Passo 1

O enunciado diz o seguinte: temos uma caixa com 15 peças, das quais 6 são defeituosas e, portanto, 9 são boas. Selecionam-se 3 peças ao acaso sem reposição. A pergunta é: obter a probabilidade de que ocorra “pelo menos uma peça defeituosa” entre as 3 retiradas.
Informações relevantes dadas:
\text{Total de peças}=15,\quad \text{defeituosas}=6,\quad \text{boas}=9,\quad \text{número de retiradas}=3,\quad \text{sem reposição}.çúçã
O que se pede:
\text{Probabilidade de "pelo menos uma defeituosa" em 3 retiradas.}

Passo 2

Estratégia (explicada de forma intuitiva): é muito mais simples calcular a probabilidade do evento complementar “nenhuma peça defeituosa” (ou seja, todas as 3 são boas) e então usar que
\text{Prob(até uma defeituosa)} = 1 - \text{Prob(nenhuma defeituosa)}.é
Por quê? Porque “pelo menos uma” é a soma de muitas possibilidades (uma, duas ou três defeituosas), enquanto “nenhuma” é só um caso fácil de contar. Vamos seguir por esse caminho.

Passo 3

Conceito necessário — combinações: quando contamos maneiras de escolher k itens dentre n sem ordem, usamos o símbolo \binom{n}{k} (lê-se “n escolhe k”). A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}.
Aqui queremos contar de quantas maneiras escolher 3 peças entre 15 (todas as possíveis amostras de tamanho 3) e de quantas maneiras escolher 3 apenas entre as 9 boas (casos sem defeituosa). A probabilidade de todas as 3 serem boas é dada por
\frac{\binom{9}{3}}{\binom{15}{3}}.

Passo 4

Calcular \binom{9}{3} passo a passo:
\binom{9}{3}=\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}.
Fazendo as contas sem calculadora: 9\cdot8\cdot7=504 e 3\cdot2\cdot1=6, então
\binom{9}{3}=\frac{504}{6}=84.

Passo 5

Calcular \binom{15}{3} passo a passo:
\binom{15}{3}=\frac{15\cdot14\cdot13}{3\cdot2\cdot1}.
Multiplicando: 15\cdot14\cdot13=2730 e 3\cdot2\cdot1=6, então
\binom{15}{3}=\frac{2730}{6}=455.

Passo 6

Probabilidade de nenhuma defeituosa (todas as 3 boas):
\text{Prob(nenhuma defeituosa)}=\frac{\binom{9}{3}}{\binom{15}{3}}=\frac{84}{455}.
Agora usamos o complemento para obter a probabilidade pedida:
\text{Prob(pelo menos uma defeituosa)}=1-\frac{84}{455}=\frac{455-84}{455}=\frac{371}{455}.

Passo 7

Simplificar a fração \dfrac{371}{455}. Observe que 371=7\cdot53 e 455=7\cdot65, portanto podemos cancelar o fator 7:
\frac{371}{455}=\frac{53}{65}.
Se quiser uma aproximação decimal (útil para intuição),
\frac{53}{65}\approx 0,815384615\ldots

Resposta

\dfrac{53}{65}
\approx 0,815384615

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