Uma caixa de água que esvaziou após falta de água da concessionária, e está enchendo novamente. Este processo pode ser descrito como um regime permanente ou transiente? Explique.

Passo 1

O enunciado pergunta se o processo de uma caixa de água que foi esvaziada e agora está enchendo novamente é um regime permanente ou um regime transitório. Informação dada: a caixa ficou vazia por falta de água da concessionária; em seguida a água voltou e a caixa está sendo preenchida (situação inicial: caixa vazia, depois a altura da água varia no tempo até alguma situação futura).

Passo 2

Definição clara e simples (sem jargão complicado):
  • Regime permanente (ou regime estacionário): é quando a(s) variável(is) de interesse não mudam no tempo. Por exemplo, se a altura da água h deixa de variar e fica constante, então estamos em regime permanente. Matematicamente isso significa \dfrac{dh}{dt}=0.
  • Regime transitório (ou transitório): é a fase em que as variáveis estão mudando no tempo, isto é, elas evoluem desde uma condição inicial até a condição permanente. Durante o transitório \dfrac{dh}{dt}\neq0 em geral.

Passo 3

Aplicando as definições ao enunciado, de forma qualitativa:
  • No instante em que a água começa a entrar na caixa vazia, a altura h(t) começa em h(0)=0 e aumenta com o tempo. Enquanto h estiver mudando, isso é comportamento transitório.
  • Se a entrada e saída de água se estabilizarem posteriormente e a altura parar de variar, aí sim o sistema entrará em regime permanente. Portanto existe uma fase inicial de transição (enchimento) e, possivelmente, uma fase final de regime permanente.

Passo 4

Vamos modelar de forma simples para ver o conceito matematicamente (isso ajuda na prova):
  • Faça um balanço de volume na caixa: a taxa de variação da altura \dfrac{dh}{dt} equals o fluxo líquido dividido pela área da seção da caixa.
  • Escrevemos:
\frac{dh}{dt}=\frac{Q_{\text{in}}-Q_{\text{out}}}{A}
onde \,h(t) é a altura da água, \,A é a área da base da caixa (constante), \,Q_{\text{in}} é o fluxo volumétrico de entrada e \,Q_{\text{out}} é o fluxo de saída.
Expliquei cada símbolo: \,h(t) em metros, \,A em metros quadrados, \,Q em metros cúbicos por segundo.

Passo 5

Escolha de modelo simples para a saída (comum em exercícios): suponha que a saída seja proporcional à altura, isto é,
Q_{\text{out}}=k\,h(t)
onde k>0 é uma constante (unidades de área/tempo) que modela como a saída depende da altura. Substituindo no balanço:
\frac{dh}{dt}=\frac{Q_{\text{in}}-k\,h}{A}.
Reorganizando:
\frac{dh}{dt} + \frac{k}{A}h = \frac{Q_{\text{in}}}{A}.

Passo 6

Resolver a equação linear (passo a passo, para você poder reproduzir numa prova):
  • Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Use o fator integrante e^{\frac{k}{A}t}.
    Multiplicando ambos os lados por e^{\frac{k}{A}t} obtemos
\frac{d}{dt}\!\left(h\,e^{\frac{k}{A}t}\right)=\frac{Q_{\text{in}}}{A}e^{\frac{k}{A}t}.
  • Integre de 0 a t, usando h(0)=0 (caixa vazia):
h(t)e^{\frac{k}{A}t}-0=\frac{Q_{\text{in}}}{A}\int_0^t e^{\frac{k}{A}s}\,ds.
  • Calcule a integral e isolue h(t):
h(t)=\frac{Q_{\text{in}}}{k}\left(1-e^{-\frac{k}{A}t}\right).
  • Defina a altura de equilíbrio
h_{\text{eq}}=\frac{Q_{\text{in}}}{k}
e a constante de tempo
\tau=\frac{A}{k},
ficando
h(t)=h_{\text{eq}}\left(1-e^{-t/\tau}\right).
Expliquei: \tau mede em quanto tempo a resposta decai; depois de alguns \tau a altura está muito próxima de h_{\text{eq}}.

Passo 7

Interpretação física da solução (o ponto chave para a prova):
  • Em t=0 temos h(0)=0. Para t>0 a exponencial faz com que h(t) aumente do valor inicial até h_{\text{eq}}.
  • Enquanto h(t) varia com t (isto é, enquanto e^{-t/\tau} não for praticamente zero) o sistema está em regime transitório.
  • Quando t\to\infty temos h(t)\to h_{\text{eq}} e então \dfrac{dh}{dt}\to0: a partir desse ponto o sistema está em regime permanente.
  • Conclusão conceitual: o enchimento da caixa é um processo transitório (fase de resposta) que tende a um regime permanente se as condições de entrada/saída se mantiverem constantes.

Passo 8

Observações úteis para a prova e para ganhar pontos:
  • Se Q_{\text{in}} variar no tempo (por exemplo, oscilações na rede), o sistema pode nunca atingir um regime permanente fixo e permanecer com comportamento dinâmico — mas ainda assim cada mudança gera uma resposta transitória até eventualmente seguir a nova condição.
  • Se a caixa estiver sendo apenas enchida (início vazio) e Q_{\text{in}} for constante, use o modelo acima para calcular tempos aproximados: após t\approx3\tau a altura já está ~95% de h_{\text{eq}} (regra prática útil em prova).

Resposta

Regime transitório.

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