Uma caixa de água que esvaziou após falta de água da concessionária, e está enchendo novamente. Este processo pode ser descrito como um regime permanente ou transiente? Explique.
Passo 1
O enunciado pergunta se o processo de uma caixa de água que foi esvaziada e agora está enchendo novamente é um regime permanente ou um regime transitório. Informação dada: a caixa ficou vazia por falta de água da concessionária; em seguida a água voltou e a caixa está sendo preenchida (situação inicial: caixa vazia, depois a altura da água varia no tempo até alguma situação futura).
Passo 2
Definição clara e simples (sem jargão complicado):
- Regime permanente (ou regime estacionário): é quando a(s) variável(is) de interesse não mudam no tempo. Por exemplo, se a altura da água
deixa de variar e fica constante, então estamos em regime permanente. Matematicamente isso significa . - Regime transitório (ou transitório): é a fase em que as variáveis estão mudando no tempo, isto é, elas evoluem desde uma condição inicial até a condição permanente. Durante o transitório
em geral.
Passo 3
Aplicando as definições ao enunciado, de forma qualitativa:
- No instante em que a água começa a entrar na caixa vazia, a altura
começa em e aumenta com o tempo. Enquanto estiver mudando, isso é comportamento transitório. - Se a entrada e saída de água se estabilizarem posteriormente e a altura parar de variar, aí sim o sistema entrará em regime permanente. Portanto existe uma fase inicial de transição (enchimento) e, possivelmente, uma fase final de regime permanente.
Passo 4
Vamos modelar de forma simples para ver o conceito matematicamente (isso ajuda na prova):
- Faça um balanço de volume na caixa: a taxa de variação da altura
equals o fluxo líquido dividido pela área da seção da caixa. - Escrevemos:
onde
é a altura da água,
é a área da base da caixa (constante),
é o fluxo volumétrico de entrada e
é o fluxo de saída.
Expliquei cada símbolo:
em metros,
em metros quadrados,
em metros cúbicos por segundo.
Passo 5
Escolha de modelo simples para a saída (comum em exercícios): suponha que a saída seja proporcional à altura, isto é,
onde
é uma constante (unidades de área/tempo) que modela como a saída depende da altura. Substituindo no balanço:
Reorganizando:
Passo 6
Resolver a equação linear (passo a passo, para você poder reproduzir numa prova):
- Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Use o fator integrante
.
Multiplicando ambos os lados porobtemos
- Integre de
a , usando (caixa vazia):
- Calcule a integral e isolue
:
- Defina a altura de equilíbrio
e a constante de tempo
ficando
Expliquei:
mede em quanto tempo a resposta decai; depois de alguns
a altura está muito próxima de
.
Passo 7
Interpretação física da solução (o ponto chave para a prova):
- Em
temos . Para a exponencial faz com que aumente do valor inicial até . - Enquanto
varia com (isto é, enquanto não for praticamente zero) o sistema está em regime transitório. - Quando
temos e então : a partir desse ponto o sistema está em regime permanente. - Conclusão conceitual: o enchimento da caixa é um processo transitório (fase de resposta) que tende a um regime permanente se as condições de entrada/saída se mantiverem constantes.
Passo 8
Observações úteis para a prova e para ganhar pontos:
- Se
variar no tempo (por exemplo, oscilações na rede), o sistema pode nunca atingir um regime permanente fixo e permanecer com comportamento dinâmico — mas ainda assim cada mudança gera uma resposta transitória até eventualmente seguir a nova condição. - Se a caixa estiver sendo apenas enchida (início vazio) e
for constante, use o modelo acima para calcular tempos aproximados: após a altura já está ~95% de (regra prática útil em prova).
Resposta
Regime transitório.