Considerando o escoamento de um fluido com viscosidade dentro de um tubo de seção circular, qual a diferença entre o perfil de velocidade laminar e o perfil de velocidade turbulento?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Considerando o escoamento de um fluido com viscosidade dentro de um tubo de seção circular, qual a diferença entre o perfil de velocidade laminar e o perfil de velocidade turbulento?”\n
Informações dadas e o que é pedido:
  • Temos um tubo de seção circular e um fluido viscoso escoando por ele.
  • Devemos comparar os perfis de velocidade nos dois regimes: laminar e turbulento.
  • Não há números ou figura; a comparação é qualitativa e também quantitativa (formas matemáticas típicas, razão entre velocidades média e máxima, dependência com o número de Reynolds, efeitos no atrito/queda de carga).

Passo 2

Noção importante que vou usar (sem pular etapas): definir o número de Reynolds, que indica o regime de escoamento. Expliquei ele porque você precisa saber quando cada perfil aparece.\n
Definição do número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,U_{\text{m}}\,D}{\mu}
onde:
  • \rho é a densidade do fluido;
  • U_{\text{m}} é a velocidade média do fluido no tubo (média sobre a seção);
  • D é o diâmetro do tubo;
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido.\n
    Regiões típicas de escoamento (valores de referência):
  • Escoamento laminar: \mathrm{Re}\lesssim 2300.
  • Região transicional: 2300 \lesssim \mathrm{Re} \lesssim 4000.
  • Escoamento turbulento: \mathrm{Re}\gtrsim 4000.\n
    Isso é importante porque o perfil de velocidade que vamos descrever vale para as situações bem definidas acima.

Passo 3

Perfil laminar: vou deduzir a forma matemática clássica (Poiseuille/Hagen–Poiseuille) passando processo passo a passo, para você entender como sai o parabolão.\n
Hipóteses para facilitar (válidas para escoamento laminar totalmente desenvolvido, estacionário, incompressível, sem forças externas além da pressão):
  • Escoamento unidimensional axial: a velocidade só tem componente axial u(r) que depende apenas da distância radial r ao eixo.
  • Fluxo totalmente desenvolvido: não há variação axial da forma do perfil ( \partial u/\partial z=0).
  • Pressão varia linearmente ao longo do tubo: \mathrm{d}p/\mathrm{d}z= constante (negativa no sentido do escoamento).\n
    Equação diferencial que usamos (versão simplificada de Navier–Stokes para simetria cilíndrica, direção axial):
\mu\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(r\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r}\right)=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}.
Aqui \mu é viscosidade e \mathrm{d}p/\mathrm{d}z é a derivada da pressão ao longo do eixo (constante).\n
Agora resolvemos a ODE passo a passo.\n
  1. Multiplicando e integrando: escreva
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(r\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r}\right)=\frac{r}{\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}.
Integramos em r:
r\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r}=\frac{1}{\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\cdot\frac{r^{2}}{2}+C_{1}.
  1. Condição de regularidade no eixo: a derivada tem que ser finita em r=0. Para isso, C_{1}=0 (se não, teria singularidade na origem). Logo
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r}=\frac{1}{\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\cdot\frac{r}{2}.
  1. Integramos novamente:
u(r)=\frac{1}{\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\cdot\frac{r^{2}}{4}+C_{2}.
  1. Condição de não deslizamento (no-slip) na parede: u(R)=0, onde R é o raio do tubo. Assim
0=\frac{1}{\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\cdot\frac{R^{2}}{4}+C_{2}\quad\Rightarrow\quad C_{2}=-\frac{1}{\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\cdot\frac{R^{2}}{4}.
  1. Substituindo C_{2} obtemos o perfil:
u(r)=\frac{1}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\left(r^{2}-R^{2}\right).
Escrevendo de forma mais intuitiva (usando \Delta p e comprimento L, lembrando que \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}=-\frac{\Delta p}{L}):
u(r)=\frac{\Delta p}{4\mu L}\left(R^{2}-r^{2}\right).
Observe: como \Delta p>0 e o gradiente \mathrm{d}p/\mathrm{d}z} é negativo, u(r)\ge 0 e é máximo no eixo ( r=0).\n
Interpretação: é um perfil parabólico em r, com velocidade máxima no centro e zero na parede.

Passo 4

Algumas quantidades úteis para a prova, derivadas desse perfil (não pula etapas): velocidade média e razão com a máxima.\n
Velocidade média sobre a seção é
U_{\text{m}}=\frac{1}{\pi R^{2}}\int_{0}^{R} 2\pi r\,u(r)\,\mathrm{d}r.
Substituindo u(r)=U_{\max}\big(1-(r/R)^{2}\big) onde U_{\max}=u(0)=\dfrac{\Delta p\,R^{2}}{4\mu L}:
U_{\text{m}}=\frac{2}{R^{2}}\int_{0}^{R} r\,U_{\max}\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right)\mathrm{d}r =U_{\max}\cdot\frac{2}{R^{2}}\left[\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{4}}{4R^{2}}\right]_{0}^{R} =U_{\max}\cdot\frac{2}{R^{2}}\left(\frac{R^{2}}{2}-\frac{R^{4}}{4R^{2}}\right) =U_{\max}\cdot\frac{1}{2}.
Logo a relação clássica:
U_{\max}=2\,U_{\text{m}}.
Resumo para laminar: perfil parabólico; velocidade máxima duas vezes a média.

Passo 5

Comportamento do cisalhamento (shear) no caso laminar — por que isso importa?\n
Derivando:
\tau_{rz}(r)=\mu\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r}=\mu\cdot\frac{1}{\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\cdot\frac{r}{2}=\frac{r}{2}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}.
No muro ( r=R) obtemos a tensão de parede:
\tau_{w}=\left.\tau_{rz}\right|_{r=R}=\frac{R}{2}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}.
Isso mostra que no laminar a distribuição de tensão é linear com r (zero no centro, máxima na parede).

Passo 6

Perfil turbulento: vou explicar por que não é possível obter uma forma simples via as mesmas integrações (e apresentar as leis empíricas que usamos na prática).\n
Porque no regime turbulento há flutuações caóticas de velocidade (vórtices, transporte de momento por turbulência). A equação média (tempo-média de Reynolds) gera termos extras chamados tensões de Reynolds que não podem ser fechadas sem modelos. Portanto usamos leis empíricas/semianalíticas obtidas por experimentos e teoria dimensional.\n
Duas representações comuns do perfil de velocidade turbulento em tubos:
  1. Lei de potência (perfil externo, forma simples e útil em provas):
\frac{u(r)}{U_{\max}}=\left(1-\frac{r}{R}\right)^{1/n},
onde n depende de \mathrm{Re}. Um valor típico usado para escoamento completamente turbulento em tubos lisos é n\approx 7 (a chamada “lei 1/7ª”).\n
2) Lei do logaritmo (perto da parede, lei do ‘wall’ — mais precisa na região interna):
primeiro definimos a velocidade de fricção
u_{\tau}=\sqrt{\frac{\tau_{w}}{\rho}},
e as coordenadas adimensionais
u^{+}=\frac{u}{u_{\tau}},\qquad y^{+}=\frac{y\,u_{\tau}}{\nu},
onde y=R-r é a distância à parede e \nu=\mu/\rho é a viscosidade cinemática. A lei do muro (zona logarítmica) é
u^{+}=\frac{1}{\kappa}\ln y^{+}+B,
com constantes empíricas \kappa\approx 0,41 e B\approx 5{,}0 para superfícies lisas.\n
Interpretação prática:
  • O perfil turbulento é “mais chapado” no núcleo: a velocidade varia pouco no centro e cai rapidamente perto da parede.
  • Perto da parede existe uma camada muito fina com forte gradiente (a camada limite de velocidade), onde a lei log descreve o comportamento.
  • Ao contrário do parabólico do laminar, o centro é quase uniforme e a variação concentra-se na vizinhança da parede.

Passo 7

Exemplo numérico comparativo (útil para prova): razão U_{\max}/U_{\text{m}} para a lei 1/7 (ou “1/n”) — mostro as contas para você saber aplicar.\n
Para a lei de potência com expoente n temos (normalizando r^{*}=r/R):
\frac{U_{\text{m}}}{U_{\max}}=2\int_{0}^{1}\left(1-r^{*}\right)^{1/n} r^{*}\,\mathrm{d}r^{*}.
Fazendo a integral dá (passo rápido da integral, eu já calculei para você):
\frac{U_{\text{m}}}{U_{\max}}=\frac{2n^{2}}{(n+1)(2n+1)}.
Para n=7 (lei 1/7):
\frac{U_{\text{m}}}{U_{\max}}=\frac{98}{120}\approx 0{,}8167\quad\Rightarrow\quad U_{\max}\approx 1{,}225\,U_{\text{m}}.
Comparando com o laminar onde U_{\max}=2\,U_{\text{m}}, vemos numericamente que o perfil turbulento é bem mais “plano” (maior fração da média está perto do máximo).

Passo 8

Consequências práticas importantes (o que cai na prova e é útil): queda de carga / atrito\n
  • Laminar (Hagen–Poiseuille): a perda de carga por unidade de comprimento tem dependência linear na velocidade média e na viscosidade; em termos de fator de atrito de Darcy f temos a relação simples
f=\frac{64}{\mathrm{Re}}\quad\text{(escoamento laminar em tubo circular)}.
  • Turbulento: f depende fortemente de \mathrm{Re} e também da rugosidade da parede; não há expressão simples universal. Para escoamentos turbulentos em tubos lisos existe uma correlação empírica (Blasius) válida em certo intervalo:
f\approx 0{,}316\,\mathrm{Re}^{-1/4}\quad\text{(Blasius, para }\mathrm{Re}\text{ moderadamente altos)}.
Logo, para mesma velocidade média, o escoamento turbulento normalmente causa maior perda de carga (maior atrito) do que o laminar à mesma Re? Atenção: à mesma Re o comportamento do f é dado pelas fórmulas acima; para velocidades altas (grande Re) turbulento apresenta f que decai mais lentamente com Re do que 64/\mathrm{Re}, resultando em perdas maiores que na extrapolação laminar.

Passo 9

Resumo comparativo final (ponto a ponto, para você decorar e usar na prova):\n
  • Forma do perfil:\n
    • Laminar: \displaystyle u(r)=\frac{\Delta p}{4\mu L}\left(R^{2}-r^{2}\right) → perfil parabólico (curvado, máximo no centro, suave até a parede).\n
    • Turbulento: perfil “chapado” no núcleo; aproximações: lei da potência \displaystyle \frac{u}{U_{\max}}=\left(1-\frac{r}{R}\right)^{1/n} (com n\approx 7 como exemplo) e, perto da parede, lei logarítmica u^{+}=\frac{1}{\kappa}\ln y^{+}+B.\n
  • Razão velocidade máxima / média:\n
    • Laminar: U_{\max}=2\,U_{\text{m}}.\n
    • Turbulento (ex.: 1/7): U_{\max}\approx 1{,}22\,U_{\text{m}} (mais plano que o laminar).\n
  • Gradientes e tensões na parede:\n
    • Laminar: gradiente suave, tensão de parede proporcional a R\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}.\n
    • Turbulento: gradiente muito acentuado em uma camada fina junto à parede (camada de mistura), com transporte de momento por turbulência (tensões de Reynolds) — aumenta a perda de carga.\n
  • Dependência com \mathrm{Re}: laminar segue leis analíticas (Hagen–Poiseuille), turbulento requer leis empíricas e depende também de rugosidade.\n
  • Onde aparecem: laminar em baixas \mathrm{Re} (fluxos lentos/viscosos), turbulento em altas \mathrm{Re} (fluxos rápidos/grandes tubulações).

Resposta

Laminar: perfil parabólico dado por \displaystyle u(r)=\frac{\Delta p}{4\mu L}\bigl(R^{2}-r^{2}\bigr), com U_{\max}=2\,U_{\text{m}}; variação suave do eixo até a parede e perda de carga descrita por f=64/\mathrm{Re}.\n
Turbulento: perfil mais “chapado” no núcleo e com queda brusca próxima à parede; normalmente modelado por leis empíricas (ex.: lei de potência \displaystyle \frac{u}{U_{\max}}=\bigl(1-\frac{r}{R}\bigr)^{1/n} com n\approx 7, ou pela lei do muro \displaystyle u^{+}=\frac{1}{\kappa}\ln y^{+}+B); tem U_{\max}/U_{\text{m}} tipicamente ~ 1{,}2 (bem menor que 2) e causa maior perda de carga dependente de \mathrm{Re} e rugosidade (ex.: f\approx0{,}316\,\mathrm{Re}^{-1/4} na faixa Blasius).

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