O caixa de um banco possui em sua gaveta 100 notas de 2 reais, 100 notas de 5 reais e 100 notas de 10 reais. De quantas maneiras diferentes ele pode dar a um cliente uma quantia de 27 reais?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos um caixa de banco com 100 notas de 2, 5 e 10 reais cada. Precisamos descobrir de quantas maneiras diferentes esse caixa pode dar ao cliente uma quantia de 27 reais. Vamos usar conceitos de combinatória para resolver isso, ou seja, vamos contar todas as possíveis combinações de notas que somam 27 reais.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas variáveis para facilitar:
  • $ x $: número de notas de 2 reais
  • $ y $: número de notas de 5 reais
  • $ z $: número de notas de 10 reais
A equação que representa a soma das notas é:
x
Nosso objetivo é encontrar todas as combinações de $ x $, $ y $ e $ z $ que satisfazem essa equação, onde $ x $, $ y $ e $ z $ são números inteiros não negativos (já que não podemos ter um número negativo de notas).

Passo 3

Vamos resolver essa equação considerando diferentes valores para $ z $ (número de notas de 10 reais), já que é o maior valor e limita a quantidade de combinações. O valor máximo de $ z $ é $ \lfloor \frac{27}{10} \rfloor = 2 $ (não podemos ter mais de 2 notas de 10 reais, pois 3*10 = 30 > 27).

Caso 1: $ z = 0 $

Substituindo $ z $ na equação:
z
Agora, vamos encontrar valores de $ y $ que tornam $ 27 - 5y $ divisível por 2 (para que $ x $ seja um número inteiro).
  • $ y = 1 $: $ 27 - 5*1 = 22 $ → $ x = 11 $
  • $ y = 3 $: $ 27 - 5*3 = 12 $ → $ x = 6 $
  • $ y = 5 $: $ 27 - 5*5 = 2 $ → $ x = 1 $
Portanto, para $ z = 0 $, temos 3 combinações:
  1. $ x = 11 $, $ y = 1 $, $ z = 0 $
  2. $ x = 6 $, $ y = 3 $, $ z = 0 $
  3. $ x = 1 $, $ y = 5 $, $ z = 0 $

Caso 2: $ z = 1 $

Substituindo $ z $ na equação:
z
Vamos novamente encontrar valores de $ y $ que tornam $ 17 - 5y $ divisível por 2.
  • $ y = 1 $: $ 17 - 5*1 = 12 $ → $ x = 6 $
  • $ y = 3 $: $ 17 - 5*3 = 2 $ → $ x = 1 $
Portanto, para $ z = 1 $, temos 2 combinações:
  1. $ x = 6 $, $ y = 1 $, $ z = 1 $
  2. $ x = 1 $, $ y = 3 $, $ z = 1 $

Caso 3: $ z = 2 $

Substituindo $ z $ na equação:
lfloor 2710 rfloor = 2
Vamos encontrar valores de $ y $:
  • $ y = 1 $: $ 7 - 5*1 = 2 $ → $ x = 1 $
Portanto, para $ z = 2 $, temos 1 combinação:
  1. $ x = 1 $, $ y = 1 $, $ z = 2 $

Passo 4

Agora, vamos somar todas as combinações encontradas nos diferentes casos:
  • Caso 1 ($ z = 0 $): 3 combinações
  • Caso 2 ($ z = 1 $): 2 combinações
  • Caso 3 ($ z = 2 $): 1 combinação
Total de maneiras diferentes = $ 3 + 2 + 1 = 6 $

Resposta

Existem 6 maneiras diferentes de o caixa dar 27 reais usando notas de 2, 5 e 10 reais.

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