Uma caixa com base quadrada e sem tampa tem capacidade para 4000 cm^3. Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material utilizado.

(1,0)

Queremos minimizar a área da superfície total utilizada, i.e. l^2+4 l h, onde l é o comprimento, em cm, do lado da base quadrada e h é a altura, em cm, da caixa, sujeito a um volume fixado de l^2 h=4000. Da restrição para o volume, obtemos h=4000 / l^2. Substituindo na fórmula da área obtemos o problema de otimização
Minimizar A(l)=l^2+16000l, l>0
Temos A^prime(l)=2 l-16000l^2=2 l^3-16000l^2 e A^prime(l)=0 quando 2 l^3=16000, i.e., l=20.
Note que A^prime(l)<0 para todo l<20 e A^prime(l)>0 para todo l>20, logo A atinge um mínimo absoluto para l=20. Concluímos que as dimensões pretendidas são l=20 e h=4000 / 20^2=10.

Passo 1

O enunciado pede uma caixa com base quadrada, sem tampa, de volume ,4000cm^3, de modo a minimizar a área de material usado. Isso envolve um problema de otimização com restrição de volume.

Passo 2

Denotamos por ,l o lado da base quadrada e por ,h a altura. O volume é dado por
l^2h = 4000,
e a área da superfície é
A(l,h) = área da base + área das quatro faces = l^2 + 4,l,h áá

Passo 3

Da restrição obtemos
h = 4000l^2
Substituindo em A temos função de uma variável:
A(l) = l^2 + 4,l(4000l^2) = l^2 + 16000l, l>0

Passo 4

Calculamos a derivada de A:
A'(l) = 2,l - 16000l^2
Para A'(l)=0 exige
2,l^3 = 16000 Longrightarrow l^3 = 8000 Longrightarrow l = 20

Passo 5

Como A'(l)<0 para l<20 e A'(l)>0 para l>20, temos mínimo em l=20. Usando o volume para achar h:
h = 400020^2 = 10

Resposta

l=20 cm, h=10 cm.

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