Uma caixa com base quadrada e sem tampa tem capacidade para
. Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material utilizado.
Queremos minimizar a área da superfície total utilizada, i.e.
, onde
é o comprimento, em cm, do lado da base quadrada e
é a altura, em cm, da caixa, sujeito a um volume fixado de
. Da restrição para o volume, obtemos
. Substituindo na fórmula da área obtemos o problema de otimização
Temos
e
quando
, i.e.,
.
Note que
para todo
e
para todo
, logo
atinge um mínimo absoluto para
. Concluímos que as dimensões pretendidas são
e
.
Passo 1
O enunciado pede uma caixa com base quadrada, sem tampa, de volume
, de modo a minimizar a área de material usado. Isso envolve um problema de otimização com restrição de volume.
Passo 2
Denotamos por
o lado da base quadrada e por
a altura. O volume é dado por
e a área da superfície é
Passo 3
Da restrição obtemos
Substituindo em
temos função de uma variável:
Passo 4
Calculamos a derivada de
:
Para
exige
Passo 5
Como
para
e
para
, temos mínimo em
. Usando o volume para achar
: