Determine :
lim x pi (x-pi)^21+cos x

Passo 1

O enunciado pede
limxtopi(x-pi)^21+cos x
Isso é um caso de forma indeterminada tfrac00. O conteúdo principal aqui é cálculo de limites usando expansão em série de Taylor (ou regra de L’Hôpital), e vamos usar a expansão de cos x em torno de x=pi.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
h = x - pi,
então hto 0 quando xtopi. A expressão torna-se
(x-pi)^21+cos x =h^21+cos(pi+h)

Passo 3

Usamos que cos(pi+h)=-cos h e a expansão de Taylor de cos h em torno de h=0:
cos h = 1 - h^22 + O(h^4)
Logo,
cos(pi+h) = -l(1 - h^22 + O(h^4)r) = -1 + h^22 + O(h^4)
Portanto
1+cos(pi+h) = 1 +l(-1 + tfrach^22 + O(h^4)r) = h^22 + O(h^4)

Passo 4

Substituindo na fração, obtemos
h^21+cos(pi+h) approx h^2tfrach^22 =2,
e os termos de ordem superior O(h^4) vão a zero quando hto0.

Resposta

2

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