Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem volume de 16.000 cm^3. Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma caixa com base quadrada e sem tampa, cujo volume é de 16.000, cm^3. O objetivo é descobrir quais são as dimensões dessa caixa (lado da base e altura) que usam a menor quantidade de material possível. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente otimização, onde a gente encontra o mínimo de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja x o comprimento de um lado da base quadrada (em cm).
  • Seja h a altura da caixa (em cm).
Como a base é quadrada, a área da base é x times x = x^2.

Passo 3

Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Volume = Área da base times AÁ
Dessa equação, podemos isolar h:
h = 16.000x^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a quantidade de material usado, que corresponde à área total da caixa sem a tampa. A área total S é a soma da área da base mais a área das quatro laterais:
S = x^2 + 4 times (x times h)
Substituindo h pela expressão que encontramos:
S = x^2 + 4x times (16.000x^2) = x^2 + 64.000x

Passo 5

Para encontrar o mínimo dessa função, precisamos derivar S em relação a x e igualar a derivada a zero. Isso porque os pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos.
Derivando S:
S'(x) = ddx(x^2) + ddx(64.000x) = 2x - 64.000x^2

Passo 6

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
2x - 64.000x^2 = 0
Resolvendo para x:
2x = 64.000x^2 Rightarrow 2x^3 = 64.000 Rightarrow x^3 = 32.000 Rightarrow x = raiz[3]32.000
Calculando a raiz cúbica:
x = 32, cm

Passo 7

Com x = 32, cm, vamos encontrar a altura h usando a equação do volume:
h = 16.000x^2 = 16.00032^2 = 16.0001.024 = 15,625, cm

Resposta

As dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado são:
  • Base quadrada com lado de 32, cm
  • Altura de 15,625, cm

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