Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem volume de
. Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma caixa com base quadrada e sem tampa, cujo volume é de
. O objetivo é descobrir quais são as dimensões dessa caixa (lado da base e altura) que usam a menor quantidade de material possível. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente otimização, onde a gente encontra o mínimo de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja
o comprimento de um lado da base quadrada (em cm). - Seja
a altura da caixa (em cm).
Como a base é quadrada, a área da base é
.
Passo 3
Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Dessa equação, podemos isolar
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a quantidade de material usado, que corresponde à área total da caixa sem a tampa. A área total
é a soma da área da base mais a área das quatro laterais:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 5
Para encontrar o mínimo dessa função, precisamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero. Isso porque os pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos.
Derivando
:
Passo 6
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo para
:
Calculando a raiz cúbica:
Passo 7
Com
, vamos encontrar a altura
usando a equação do volume:
Resposta
As dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado são:
- Base quadrada com lado de
- Altura de