Calcule a integral
usando substituição trigonométrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral
usando substituição trigonométrica. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente técnicas de integração que envolvem funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar uma substituição que simplifica a expressão sob a raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte da integral que está dentro da raiz quadrada: $ \sqrt{5 - x^{2}} $. Isso se parece com a expressão $ \sqrt{a^{2} - x^{2}} $, onde usamos substituição trigonométrica com seno. Nesse caso, $ a^{2} = 5 $, então $ a = \sqrt{5} $. Portanto, fazemos a substituição:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar $ dx $ em termos de $ d\theta $. Derivando ambos os lados da substituição:
Também vamos substituir $ \sqrt{5 - x^{2}} $ usando a substituição que fizemos:
Passo 4
Substituindo tudo de volta na integral original:
Simplificando:
Passo 5
A integral de $ \csc \theta $ é conhecida:
Portanto,
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original $ x $. Lembrando que fizemos a substituição $ x = \sqrt{5} \sin \theta $, podemos desenhar um triângulo retângulo onde o lado oposto ao ângulo $ \theta $ é $ x $, a hipotenusa é $ \sqrt{5} $, e o lado adjacente é $ \sqrt{5 - x^{2}} $. Assim:
Usando a identidade $ \tan (\theta/2) = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} $, substituímos de volta:
Portanto, a solução em termos de $ x $ fica:
Resposta
A integral é igual a