Calcule a integral
integral d xx raiz5-x^2
usando substituição trigonométrica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral
integral dxx raiz5 - x^2
usando substituição trigonométrica. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente técnicas de integração que envolvem funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar uma substituição que simplifica a expressão sob a raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte da integral que está dentro da raiz quadrada: $ \sqrt{5 - x^{2}} $. Isso se parece com a expressão $ \sqrt{a^{2} - x^{2}} $, onde usamos substituição trigonométrica com seno. Nesse caso, $ a^{2} = 5 $, então $ a = \sqrt{5} $. Portanto, fazemos a substituição:
raiz5 - x^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar $ dx $ em termos de $ d\theta $. Derivando ambos os lados da substituição:
dx
Também vamos substituir $ \sqrt{5 - x^{2}} $ usando a substituição que fizemos:
dtheta

Passo 4

Substituindo tudo de volta na integral original:
integral dxx raiz5 - x^2 = integral raiz5 cos theta , dthetaraiz5 sin theta cdot raiz5 cos theta = integral raiz5 cos theta5 sin theta cos theta , dtheta = integral 1raiz5 sin theta , dtheta
Simplificando:
1raiz5 integral 1sin theta , dtheta = 1raiz5 integral csc theta , dtheta

Passo 5

A integral de $ \csc \theta $ é conhecida:
csc theta
Portanto,
integral csc theta , dtheta = ln | tan (theta/2) | + C

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original $ x $. Lembrando que fizemos a substituição $ x = \sqrt{5} \sin \theta $, podemos desenhar um triângulo retângulo onde o lado oposto ao ângulo $ \theta $ é $ x $, a hipotenusa é $ \sqrt{5} $, e o lado adjacente é $ \sqrt{5 - x^{2}} $. Assim:
x
Usando a identidade $ \tan (\theta/2) = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} $, substituímos de volta:
x = raiz5 sin theta
Portanto, a solução em termos de $ x $ fica:
theta

Resposta

A integral é igual a
1raiz5 ln | xraiz5 + raiz5 - x^2 | + C

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