Uma caixa de base quadrada e sem tampa tem volume 32000 m^3. Determine as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material a ser usado para construí-la.

Passo 1

A caixa tem base quadrada de lado x e altura h, sem tampa, e volume fixo de 32000,m^3. O conteúdo é otimização de área com restrição de volume, então vamos precisar definir a área a minimizar e a equação do volume.

Passo 2

A área de material usada (superfície sem tampa) é a área da base mais a área das quatro faces laterais. Definimos:
S = x^2 + 4,x,h
E a restrição do volume é
x^2,h = 32000

Passo 3

Usamos a restrição para eliminar h. Da equação do volume vem:
h = 32000x^2
Substituindo em S obtemos
S(x) = x^2 + 4x(32000x^2) = x^2 + 128000x

Passo 4

Para achar o mínimo de S(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
S'(x) = 2x - 128000x^2
Fazendo S'(x)=0
2x = 128000x^2 Rightarrow x^3 = 64000 Rightarrow x = 40,(m)

Passo 5

Para confirmar que é mínimo, olhamos a segunda derivada:
S''(x) = 2 + 256000x^3,
que em x=40 é positiva, garantindo mínimo. Finalmente, usando a restrição para h:
h = 3200040^2 = 320001600 = 20,(m)

Resposta

Lado da base: 40 m; Altura: 20 m.

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