Uma caixa de base quadrada e sem tampa tem volume
. Determine as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material a ser usado para construí-la.
Passo 1
A caixa tem base quadrada de lado
e altura
, sem tampa, e volume fixo de
. O conteúdo é otimização de área com restrição de volume, então vamos precisar definir a área a minimizar e a equação do volume.
Passo 2
A área de material usada (superfície sem tampa) é a área da base mais a área das quatro faces laterais. Definimos:
E a restrição do volume é
Passo 3
Usamos a restrição para eliminar
. Da equação do volume vem:
Substituindo em
Passo 4
Para achar o mínimo de
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Fazendo
Passo 5
Para confirmar que é mínimo, olhamos a segunda derivada:
que em
Resposta
Lado da base: 40 m; Altura: 20 m.