Calcule os limites aplicando os limites fundamentais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular \ (\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{6x - \sin(2x)}{2x + 3\sin(4x)} \cdot \dfrac{2}{7}\.\\nConteúdo: limites fundamentais, em especial \ (\displaystyle \lim_{u \to 0} \dfrac{\sin u}{u} = 1\.\\nVamos usar esse resultado para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, foquemos na fração \ $\displaystyle \frac{6x - \sin(2x)}{2x + 3\sin(4x)}\.\\nPodemos dividir numerador e denominador por \ (x$ para isolar termos do tipo \ $\sin(\cdot)/(\cdot)$:
Escrevendo
Escrevendo
Passo 3
Agora observamos que
- \ $\displaystyle \frac{\sin(2x)}{x} = \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot 2$ e \ $\displaystyle \frac{\sin(4x)}{x} = \frac{\sin(4x)}{4x} \cdot 4$.
Aplicando o limite fundamental \ $\sin(u)/u \to 1$ quando \ $u \to 0$: - \ $\displaystyle \frac{\sin(2x)}{2x} \to 1 \implies \frac{\sin(2x)}{x} \to 2$.
- \ $\displaystyle \frac{\sin(4x)}{4x} \to 1 \implies \frac{\sin(4x)}{x} \to 4$.
Passo 4
Substituindo esses limites na fração temos
Passo 5
Por fim, precisamos multiplicar por \ $2/7$:
Resposta
$\displaystyle \frac{4}{49}$