Calcule os limites aplicando os limites fundamentais:
lim x 0 6 x-sen 2 x2 x+3 sen 4 x cdot 27

Passo 1

O enunciado pede para calcular \ (\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{6x - \sin(2x)}{2x + 3\sin(4x)} \cdot \dfrac{2}{7}\.\\nConteúdo: limites fundamentais, em especial \ (\displaystyle \lim_{u \to 0} \dfrac{\sin u}{u} = 1\.\\nVamos usar esse resultado para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, foquemos na fração \ $\displaystyle \frac{6x - \sin(2x)}{2x + 3\sin(4x)}\.\\nPodemos dividir numerador e denominador por \ (x$ para isolar termos do tipo \ $\sin(\cdot)/(\cdot)$:
Escrevendo
6x - sin(2x)2x + 3sin(4x)nPodemos dividir numerador e denominador por (x

Passo 3

Agora observamos que
  • \ $\displaystyle \frac{\sin(2x)}{x} = \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot 2$ e \ $\displaystyle \frac{\sin(4x)}{x} = \frac{\sin(4x)}{4x} \cdot 4$.
    Aplicando o limite fundamental \ $\sin(u)/u \to 1$ quando \ $u \to 0$:
  • \ $\displaystyle \frac{\sin(2x)}{2x} \to 1 \implies \frac{\sin(2x)}{x} \to 2$.
  • \ $\displaystyle \frac{\sin(4x)}{4x} \to 1 \implies \frac{\sin(4x)}{x} \to 4$.

Passo 4

Substituindo esses limites na fração temos
6 - 22 + 3cdot4 = 42 + 12 = 414 = 27

Passo 5

Por fim, precisamos multiplicar por \ $2/7$:
2/7

Resposta

$\displaystyle \frac{4}{49}$

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