Uma caixa é colocada sobre uma balança que é ajustada para ler zero quando a caixa está vazia. Bolas de gude sẫo jogadas na caixa de umá altura
, acima do fundo da caixa, com uma taxa
(bolas de gude por segundo). Cada bola de gude possui uma massa
. As colisōes sāo completamente inelósticas; assuma que as bolas de gude caiam na caixa sem ricochetear. Encontre o peso indicado pela balança para um instante
, após as bolas começarem a encher a caixa. Determine a resposta numérica quado
;
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: tem uma caixa numa balança que lê zero com ela vazia. A gente joga bolinhas de gude de massa
a uma taxa
(bolas por segundo) de uma altura
em cima do fundo da caixa. As colisões são totalmente inelásticas (elas param ali dentro, sem quicar). A gente precisa achar o peso indicado pela balança num certo instante
.
Conteúdo: dinâmica (força e impulso), conservação de momento e conceito de fluxo de massa. Vamos usar que a força média que a balança sente é a soma do peso das bolinhas que já ficaram dentro mais a força necessária para parar as que ainda estão chegando (impulso por segundo).
Conteúdo: dinâmica (força e impulso), conservação de momento e conceito de fluxo de massa. Vamos usar que a força média que a balança sente é a soma do peso das bolinhas que já ficaram dentro mais a força necessária para parar as que ainda estão chegando (impulso por segundo).
Passo 2
Primeiro, calcula a velocidade com que cada bola chega no fundo. Como cai de altura
sem atrito, vale energia ou cinemática livre:
Aqui
Passo 3
Agora, força constante é taxa de variação de momento. A cada segundo entram
bolas, cada uma com massa
e velocidade
, e param completamente. Então o fluxo de massa é
e a variação de momento por segundo (que é força) vinda das colisões é
Passo 4
Além dessa força de impacto, a balança sustenta o peso de todas as bolas que já ficaram dentro. Em um tempo
, a massa acumulada é
e o peso dessa massa é
Passo 5
A balança lê a soma dessas duas forças:
$$F_{\rm total} = F_{\rm colisão}+F_{\rm peso}
= m,R,\sqrt{2,g,h} ;+; m,R,t,g.$$
Passo 6
Substituindo
s⁻¹,
m,
g
kg,
s e
m/s²:
- Velocidade:
2) Força de colisão:
- Peso acumulado:
4) Soma:
Resposta
O mostrador da balança indicará aproximadamente
N no instante pedido.