Uma caixa é colocada sobre uma balança que é ajustada para ler zero quando a caixa está vazia. Bolas de gude sẫo jogadas na caixa de umá altura h, acima do fundo da caixa, com uma taxa R (bolas de gude por segundo). Cada bola de gude possui uma massa m. As colisōes sāo completamente inelósticas; assuma que as bolas de gude caiam na caixa sem ricochetear. Encontre o peso indicado pela balança para um instante t, após as bolas começarem a encher a caixa. Determine a resposta numérica quado R=11.5 s^-2: h=9,62 m; m=4,60 g e t=6,50 s.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: tem uma caixa numa balança que lê zero com ela vazia. A gente joga bolinhas de gude de massa m a uma taxa R (bolas por segundo) de uma altura h em cima do fundo da caixa. As colisões são totalmente inelásticas (elas param ali dentro, sem quicar). A gente precisa achar o peso indicado pela balança num certo instante t.
Conteúdo: dinâmica (força e impulso), conservação de momento e conceito de fluxo de massa. Vamos usar que a força média que a balança sente é a soma do peso das bolinhas que já ficaram dentro mais a força necessária para parar as que ainda estão chegando (impulso por segundo).

Passo 2

Primeiro, calcula a velocidade com que cada bola chega no fundo. Como cai de altura h sem atrito, vale energia ou cinemática livre:
v = raiz2,g,h
Aqui g é a aceleração da gravidade (aprox. 9,8,m/s²).

Passo 3

Agora, força constante é taxa de variação de momento. A cada segundo entram R bolas, cada uma com massa m e velocidade v, e param completamente. Então o fluxo de massa é
dot m = m,R
e a variação de momento por segundo (que é força) vinda das colisões é
Frm colisão = dot m,v = m,R,raiz2,g,hã

Passo 4

Além dessa força de impacto, a balança sustenta o peso de todas as bolas que já ficaram dentro. Em um tempo t, a massa acumulada é
M(t)= m,R,t
e o peso dessa massa é
Frm peso = M(t),g = m,R,t,g

Passo 5

A balança lê a soma dessas duas forças:
$$F_{\rm total} = F_{\rm colisão}+F_{\rm peso}
= m,R,\sqrt{2,g,h} ;+; m,R,t,g.$$

Passo 6

Substituindo R=11,5,s⁻¹, h=9,62,m, m=4,60,g =0,00460,kg, t=6,50,s e g=9,8,m/s²:
  1. Velocidade:
v = raiz2cdot9,8cdot9,62approx13,73 m/s
2) Força de colisão:
Frm colisão=0,00460cdot11,5cdot13,73approx0,726 Nã
  1. Peso acumulado:
Frm peso=0,00460cdot11,5cdot6,50cdot9,8approx3,371 N
4) Soma:
Frm totalapprox0,726+3,371=4,097 N

Resposta

O mostrador da balança indicará aproximadamente 4,10,N no instante pedido.

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